点积与叉乘的运算与物理意义

点积与叉乘的运算与物理意义

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/yangdashi888/article/details/51830915

向量的点积（内积、数量积）和叉乘（向量积、外积）是线性代数中的两个基本运算，它们在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。本文将详细介绍这两种运算的定义、公式及其几何意义。

点积的运算与物理意义

向量是由n个实数组成的一个n行1列（n1）或一个1行n列（1n）的有序数组。

点积公式

对于向量a和向量b：

要求一维向量a和向量b的行列数相同。

点积几何意义

点积的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式：

推导过程如下，首先看一下向量组成：

定义向量：

根据三角形余弦定理有：

根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：

即：

向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：

根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：

• a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间
• a·b=0 正交，相互垂直
• a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间

叉乘的运算与物理意义

两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

叉乘公式

对于向量a和向量b：

其中：

根据i、j、k间关系，有：

叉乘几何意义

在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：

在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。