图形学入门：向量与矩阵基础
图形学入门：向量与矩阵基础
图形学入门基础
本系列文章将介绍计算机图形学的基础知识，主要参考GAMES101课程，由闫令琪老师主讲。本文将重点介绍向量和线性代数的基本概念，以及它们在计算机图形学中的应用。
向量和线性代数（以右手坐标系为例）
向量
向量是计算机图形学中的基本概念，它具有大小（模长）和方向两个属性。向量可以进行多种运算，包括加法、减法、数乘、点积和叉积等。在二维空间中，向量可以用一个带箭头的线段来表示；在三维空间中，则可以用一个带箭头的三维线段来表示。向量可以用坐标来表示，例如在二维空间中，向量A可以表示为(x, y)。
向量运算遵循以下法则：
- 加法法则：向量的加法遵循平行四边形法则。如图所示，任意向量可以通过分解得到两条垂直的向量。假设向量从(0, 0)开始，那么上述向量可以表示为4X + 3Y，其中X和Y表示单位向量。
点乘（数量积）：向量的点乘可以用来计算两个向量之间的夹角。点乘的结果是一个标量，其值等于两个向量的模长与它们夹角的余弦值的乘积。点乘可以用来判断两个向量是否同向、反向或垂直，以及它们之间的接近程度。
叉乘（向量积）：向量的叉乘可以用来计算两个向量的垂直向量。叉乘的结果是一个向量，其方向遵循右手螺旋定则。如果两个向量同向，那么它们的叉乘结果为零向量。叉乘可以用来判断一个点是否在一个三角形内，以及计算三维空间中的正交向量。
矩阵
矩阵是计算机图形学中另一个重要的数学工具，它主要用于表示线性变换。矩阵乘积遵循以下法则：
矩阵乘积：两个矩阵A和B的乘积C，其中A的维度为M×N，B的维度为N×P，那么C的维度为M×P。例如，一个3×2的矩阵乘以一个2×4的矩阵，结果将是一个3×4的矩阵。
矩阵性质：矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。矩阵可以进行转置和求逆运算，一个矩阵乘以它的逆矩阵将得到单位矩阵。
向量的乘积可以转化为矩阵的乘积，这在计算机图形学中非常有用，因为矩阵运算可以更高效地处理大规模的向量运算。
总结
向量和矩阵是计算机图形学的基础，它们提供了描述和操作图形数据的基本工具。通过理解向量的运算和矩阵的性质，我们可以更好地掌握计算机图形学的核心概念，为后续学习更复杂的图形学算法打下坚实的基础。