什么是拉格朗日乘子法
什么是拉格朗日乘子法
拉格朗日乘子法，英文Lagrange Multiplier Method，是一种用于求解约束优化问题的数学方法。它能够将一个包含n个变量的函数f和k个等式约束条件g的最优化问题，转换为一个包含n+k个变量的无约束函数求极值问题，从而简化求解过程。
什么是拉格朗日乘子法
使用拉格朗日乘子法，可以将一个包括n个变量的函数f，和有k个等式约束条件g的最优化问题，转换为一个包含n + k个变量的无约束的函数求极值问题。转换后的函数L，包括了原函数f和λ*g两部分。其中的变量是x1到xn，λ1到λk，它们不受任何条件约束。因此我们可以直接使用导数求解函数L的极值。
例如，已知关于x的函数f(x)，它是我们想要计算最小值的函数。该函数有g1(x)=0、g2(x)=0等等到gk(x)=0，一共k个等式约束条件。在使用拉格朗日乘子法时，我们引入k个参数，λ1、λ2等等到λk。这k个参数即为k个拉格朗日乘子，每个乘子都对应了一个约束条件g。k个乘子λ，将k个等式约束条件g，与原函数f(x)联系到一起，一起组成了拉格朗日函数L(x, λ)：
为了求出函数L的极值，我们需要求函数L，关于x和k个λ乘子的偏导数，并令它们同时等于0：
此时，得到了一个k+1元的方程组：其中未知数是x和λ1到λk。接着，求出这个方程组的解，它们就是函数取得极值点时，函数中各个变量对应的值。
总结来说，通过拉格朗日乘子法，我们将有限制条件的极值问题，换转为了无限制条件的极值问题。
拉格朗日乘子法求体积的最大值
回到已知长方体表面积，求体积最大值这一问题：
该问题，就是求函数V=xyz，在等式S=2xy+2yz +2xz= a^2约束条件下，的最大值。设该问题的拉格朗日函数为L(x, y, z, λ)：
在该函数中，xyz是原函数，λ为拉格朗日乘子，2xy+2xz+2yz-a^2是约束条件。我们要求函数L关于变量x、y、z和λ的偏导数，求出后，令它们等于0：
此时，我们会得到了一个4元方程，继续解出该方程组的解就可以了。分析这个4元方程：
由于x、y、z代表长方体的边长，因此它们都是正数。此时，使用方程2除以方程1，方程3除以方程2。这样会得到2个新的等式：
- x/y=(x+z)/(y+z)
- y/z=(x+y)/(x+z)
继续化简：可以得到，x=y，y=z。接着，将x=y=z代入第4个方程：就得到了6x^2=a^2。从而解出x、y、z。这个点就是函数V=xyz取得最大值的位置。
这样我们就得到了，如果长方体的表面积固定：
中学数学方法
在中学阶段，我们并不讨论多元函数和偏导数，此时只能用不等式来推导。首先，使用x,y,z，表示出V和S：并根据算术平均数、几何平均数和平均乘积之间的关系进行推导：根据不等式：有xy+yz+xz=1/2 * a^2，大于等于3倍的x^2y^2z^2的立方根。接着，继续化简，得到xyz的平方小于等于1/6 a^2的3次方。这样就计算出了体积的最大值V。
可能有的同学会认为不等式的方法比拉格朗日乘子法简单。但后者是一个通用方法，无需使用任何数学技巧，就可以直接解决等式条件约束的极值问题。
本文原文来自Bilibili。