用"夹逼定理"求数列极限，看这一个视频就够！|高数上

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夹逼定理是高等数学中求解数列极限的重要工具之一。本文将从夹逼定理的基本概念出发，通过多个例题详细讲解其应用方法，帮助读者掌握这一重要定理。

夹逼定理概念

夹逼定理是极限存在准则之一。若数列{xₙ}、{yₙ}、{zₙ}满足下列条件：

1）从某一项起，即ョN，当n>N时，有yₙ ≤ xₙ ≤zₙ

2）lim n→∞ yₙ=a，lim n→∞ zₙ=a

则数列{xₙ}的极限存在，且lim n→∞ xₙ=a

必须是lim n→∞ yₙ=a，lim n→∞ zₙ=a

yₙ、zₙ极限存在且相等

ε、N语言

把xₙ夹进去

放缩·训练场

• 原则1：全军出击

全员放大缩小

n·最小数 ≤ n个数之和 ≤ n·最大数

最小数ⁿ ≤ n个正数乘积 ≤ 最大数ⁿ

• 原则2：放缩 / 略去局部

把其中一项增大或缩小

若干项求和，略去正项则缩小，略去负项则放大

略去<1的因子，乘积变大；略去>1的因子，乘积缩小

题型大总结

情形1：n项和

【例1】

无数个零相加不一定是零

把他们通分看成整体

放缩统一分母

• 让分母增大、再让分母减小（只动一个点）

求两个极限，无穷大比无穷大：抓大头

【例2】

先用求和符号整理通式

弄分母，求两次极限

【例3】

情形2：lim n→∞ ⁿ√🐷

【例4】

正数的n次方开n次方，极限是本身

lim n→∞ a开n方，极限是1，lim n→∞ ⁿ√n的多项式=1

鄙视链：对数<幂函数<指函数

放缩，全军出击

ⁿ√m可以单独提出来

另外的方法，最小值只保留最大值这一项

有限多项正数的n次方，开n次方根。极限是其中的最大值

【变式】

a⁻ⁿ = (a⁻¹)ⁿ

【例5】

每一项都≤1，那就集体放大到1

【例6】

分子分母都有乘积，略去>1和<1的因子

两侧极限都是1

情形3：含n!

【例7】

底函数、指函数：e^ln提上去

1 ≤ n! ≤ nⁿ

【例8】

放缩分子，n!/n!单独拿出来

分子放缩成2(n-1)! +n!

继续放大，略去负项

【小练习】

放缩分母

Σi=1/2(n²+n)

抓大头

Σi² =1/6n(n+1)(2n+1)

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