初高衔接——因式分解——长除法——多项式除法

初高衔接——因式分解——长除法——多项式除法

多项式除法，又称长除法，是高中数学中处理较高次幂因式分解的重要工具。本文将从基本概念出发，通过具体实例，详细介绍多项式除法的步骤和技巧，帮助读者掌握这一实用的数学方法。

长除法，也就是多项式的除法，做法和正常算术中的除法一样，也是要列出竖式，然后试商，从高次幂到低次幂，依次完成运算即可。

如果给出了除数和被除数，那就直接列出竖式，如要计算下式：

我们就可以和正常的除法一样列出竖式，特别注意：被除数应该是严格按照降幂排列：

接下来就是试商，所试商数的幂次位置要保持和被除数的幂次的位置相同：

试商完成，得到余数后，继续把被除数较低次幂下拉，按照正常的除法，继续完成剩余的运算：

也就是：

如果要对一个多项式进行因式分解，没有给出我们除式是什么，我们可以首先尝试猜出一个根，创造出一个因式，然后使用长除法，得到另外一个因式。

还是上面这个例题，要求你对它进行因式分解，现在你并不知道其中一个根是什么，那就猜一猜哪一个合适，猜根的方式一般选择从-2、-1、0、1、2这几个数或者和自然常数e相关的数尝试：

我们尝试-1，代入上式就可以得到：-1+3-3+1=0，也就是x=-1肯定是它的一个根，那么（x+1）肯定是上式的一个因式，也就是上式肯定可以写成下式的形式：

后面空白的括号就是我们要用长除法要得到的商。

当然我们现在已经知道了结果，这个例题的目的是让你了解因式分解中使用长除法的程序而已。

假如我们的被除式并不是一个满格的、完整的降幂排列多项式，也就是某个幂次是缺项的，比如下式：

这种情况下我们要进行竖式运算，就必须补齐被除数中的缺项，然后才可以进行正常运算：

确保商和被除式相同幂次的位置相对应，能减少很多运算的麻烦。最后的结果就是：

如果最后的结果是不能除尽的，只需在最后的结果中写出余数即可，不过在中学阶段，我们一般不会碰到这种情况。

进入高中，多项式的除法，在较高次幂的因式分解中常常用到，掌握这种长除法技巧，关键时刻是可以帮上忙的。