高中数学解析几何绝活：极点极线的推导和应用
高中数学解析几何绝活：极点极线的推导和应用
极点极线是高中数学解析几何中的一个重要概念，它不仅能够帮助解决一些复杂的几何问题，还能培养学生的几何直观和逻辑思维能力。本文将从预备知识开始，逐步介绍极点极线的定义、推导、性质及其在解题中的应用。
预备知识
一、调和分割
如图所示，若点P、Q、B、A满足一定的几何关系，则称PQ调和分割PB，PAQB称为一个调和点列。
二、定比点差法
如图，直线l交椭圆于A、B两点，P为直线上椭圆外一点，若满足一定的条件，则有：
由A、B在椭圆上，有：
式，得到：
极点极线
1. 极点极线的几何定义
过点P的直线交二次曲线Ω（圆、椭圆、双曲线、抛物线）于A、B两点，若上存在一点Q，使得满足一定的条件，则称点Q为P关于Ω的调和共轭点。当开始旋转，Q的轨迹将形成一条直线，则称该直线为P关于Ω的极线，相应地，称P为该直线关于Ω的极点。
注1：
- 极点极线一一对应地成对存在。确定的点P必然对应唯一的极线L，确定的极线L必然对应唯一的极点P。
- 极点是平面内的任意一点，可在二次曲线外，也可在二次曲线上。
2. 极点极线的代数推导
极点极线的一一对应性质，告诉我们知道了平面内一点的坐标，必然可以求出此点关于二次曲线的极线方程，反之亦然。那么，这一一对应的性质是怎么来的？具体该怎么求极点极线？带着这两个问题，我们来研究极点极线的数学推导。
由预备知识，我们只需对和用两次定比点差方法即可。过程中注意负号，具体过程如下：
①
②
由A、B在椭圆上，有：
二式相减并带入式，得到：
③
联立②③得
由此我们得到：如果我们已知P坐标，则Q点的轨迹是一条方程为的直线，由极点极线的几何定义，易知即为所求的P关于Ω的极线。
以上是以椭圆为例的推导，接下来给出一般二次曲线的极点极线公式推导：
已知二次曲线Ω：
①
②
③
④
联立①②③④得式
综上所述，对于已知点P，已知二次曲线Ω，点P关于Ω所对的极线方程为
注2：
- 若极点在二次曲线上，则其对应极线为过该极点的二次曲线的切线。
3. 极点极线的性质
极点极线具有很多良好的性质，事实上很多看起来“巧合”的定点定直线题目，背后都蕴含着极点极线的规律。需要注意的是，由于极点极线规律往往不能直接使用，极点极线的思想对于高考生来说其实是“蒙”答案、开辟思路的方法，而非生搬硬套的“公式”。也正因此，关于极点极线的性质，高考生实则无须学会它们的推导和记忆，有个大概印象，在见到看似是极点极线思想的题目的时候能“蒙”出思路或是答案即可。
极点极线的性质1
有二次曲线Ω，任意一点P，在点P关于Ω所对应的极线上任取一点Q，则Q关于Ω所对应的极线必经过P。该性质可由极点极线的代数推导轻易导出。
极点极线的性质2
有二次曲线Ω，任意直线，在上任取一点P，过P作Ω两条切线交Ω于A、B，则A、B恒过所对的极点Q。
简单推导如下：
由注2和性质1，在A所对应的极线PA上取一点P，则P所对应的极线必过A，同理P所对应的极线必过B，故AB即为P所对应的极线，在P所对应的极线上任取一点Q，则Q所对应极线必经过P。
如上，由于笔者不打算引入调和点束等知识，且极点极线其它的性质解释过于复杂，故仅抛出两例。
极点极线思想的几道例题
例①
已知椭圆，过M（0,2）的直线L与椭圆交于P、Q两点，N在线段PQ上，若有，求的取值范围。
分析：
将题干原式变化得，可知N为M的调和共轭点，故N的轨迹为M的极线即为y=1,如图当L自与y轴重合旋转至与椭圆相切的过程中，PM增大，PN减小且趋于0，则在L与y轴重合时取到最小值，趋于无穷大，经计算。
尽管不可直接使用结论，极点极线的思想也帮助你完成了思路的打开和答案的计算。
例②
已知椭圆:,L:,P为L上任意一点，过P引椭圆的切线PA、PB，若ODAB，D为垂足，求证存在点Q，使得DQ为定值，并求该定值。
分析：
由性质2我们知道AB过定点R，有L方程知R的坐标为（2,3）,由ODAB,知D在以OR为直径的圆上，则OR的中点即为Q，且DQ=
结语
极点极线的思想能够帮助解决解析几何中一些常见模型，学会极点极线思想不是背诵好结论，而是形成一种直觉，当题目给定了定点时，迅速考虑其极线在题中是否有用，给定定直线则亦然。本文例题皆以椭圆为例，其它二次曲线的例题请读者自行研究。本文尚未给出的较为复杂的极点极线的性质和各色例题，可移步至此进一步研究：极点极线10个性质以及在近几年全国卷中的应用。