用光学解决最速降线问题

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@小白创作中心

用光学解决最速降线问题

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https://www.bilibili.com/read/cv39995859/

中国古建筑的屋顶常被设计成弧线，如下图左侧所示，这一设计源于古代设计者对雨水排放效率的认识。正如先秦科技著作《考工记》所记录的："上尊而宇卑，则吐水疾而溜远"，如下图右侧所示，意指上半部分坡度大，下半部分坡度小，从而使雨水能迅速排出并流得更远。

相比直线屋顶，曲线屋顶能更快地排出雨水，其中蕴含的数学原理可以参看下面的例题。

例 .考虑竖直平面上的

、
两点，其中
点位于
点的左上方，如下图所示。想象仅受重力作用的小球从
点出发，沿不同的曲线轨道滑向
点。由于各曲线的长度、形状各异，小球在不同路径上的速度变化不同，导致到达
点的时间有所差异。

其中存在一条特殊的曲线，小球沿该曲线从
点滑到
点的耗时最短，该曲线被称为最速降线（Brachistochrone Curve），上图中的红色曲线就是这里的最速降线。请求出最速降线。

解.（1）许多数学家都曾探索过最速降线问题，其中瑞士数学家约翰·伯努利（ohann Bernoulli，见下图左侧）巧妙地利用光学原理找到了答案。他设想
、
两点浸没在密度渐变的液体中（如下图右侧所示，这里用渐变色表示密度的变化），根据光学中的费马原理 ，光从
点出发会不断发生折射，最终沿耗时最短的路径到达
点，这条路径即为
、
两点间的最速降线。

这里解释下约翰·伯努利的思路：小球从
点滑向
点时，在重力作用下其速度不断变化，如下图左侧所示。类似的，光在密度不同的溶液中传播速度也会变化。通过调整溶液密度，使光速和小球速度同步变化，如下图右侧所示，即可将力学中的最速降线问题转为光学中的折射问题。

（2）下面开始具体的求解，先计算球速以及光速。如下图左侧所示，以
点为原点建立坐标系。质量为
的小球从
点出发滑下
高度后，根据能量守恒定律，其获得的重力势能
会全部转化为动能
，即有
，因此可推出小球在该点的速度
。根据（1）中的分析，在对应高度的溶液处，也有光速
，如下图右侧所示。

接下来为了简化光在密度渐变液体中的传播分析，我们将液体水平分为

层，如下图所示。假设每层液体的密度保持恒定，那么可知，

光在每层内直线传播且速度恒定
光在层间交界处发生折射，根据光学中的斯涅尔定律，所以有：
光从点出发，经层层折射后，沿红色折线段传播到点。该折线段耗时最短，也就是此时的最速降线

当液体水平分为无限层（
）时，我们就得到了密度渐变的液体。在这种情况下，光线从
点出发经历无数次微小折射后，会形成一条从
点到
点的平滑曲线路径，这就是本题中要求的最速降线，如下图所示。这条曲线上每一点的切线与竖直线的夹角即为入射角（这一点还是符合直觉的，在约翰·伯努利的时代，直觉往往指导着科学研究）。作为示意，这里作出了几个点及其入射角，并根据（1）中的分析计算出该点的光速，结合上斯涅尔定律，因此会有
，代入光速并引入某常数

可得
。

设上述平滑曲线对应函数

，并将坐标系以及函数
的图像上下翻转，采用常规的直角坐标系表示，如下图所示。那么对于任意一点
对应的函数值
，都有
。这里还标出了和
互余的
角。

根据之前的学习可知
，而
，所以有
。结合上三角函数的公式
，可推出：
将上式代入
，就得到了一个关于函数
的一阶微分方程：

（3）解微分方程
。整理之后变化为可分离变量的微分方程：
设
，所以
，代入上式并运用半角公式
，可得：
这样我们就得到了函数
的参数方程，或者说得到了最速降线的参数方程：
这里希望
时有

和
（或者说
时，最速降线上对应的点在原点处），所以
。再运用半角公式
，上述参数方程可以改写如下：
令
以及
，上述参数方程可以改写如下，这是更常见的最速降线的参数方程：
比对一下可知，最速降线也是之前介绍过的摆线。