中国科学家在几何表示论与几何朗兰兹领域取得新突破

中国科学家在几何表示论与几何朗兰兹领域取得新突破

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科学网

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https://paper.sciencenet.cn/htmlnews/2024/9/529938.shtm

近日，清华大学丘成桐数学科学中心助理教授李鹏辉与美国加州大学伯克利分校教授戴维·纳德勒（David Nadler）以及麻省理工教授恽之玮合作在几何表示论与几何朗兰兹领域取得新突破。他们在对仿射赫克范畴与交换堆的研究中取得重要的、原创性成果，研究于9月刊发在国际顶尖数学期刊《数学年刊》。

论文截图

在1950年的国际数学家大会上，克劳德·谢瓦莱提出了著名的谢瓦莱限制定理，即半单李代数上的共轭不变函数同构于嘉当子代数上的外尔群不变函数。该定理于1965年由罗伯特·施坦贝格完整证明，并推广至半单代数群。此后，数学家们在谢瓦莱限制定理的高维推广上取得了许多进展：解决了一般线性李代数的情形、辛李代数的情形、正交李代数的情形。

李鹏辉与合作者一致性地证明了所有约化李代数和约化代数群的谢瓦莱定理的二维推广。该问题解决的关键在于如何计算交换堆上的全局函数。团队创造性的运用朗兰兹对偶将其转换成关于仿射赫克范畴余中心里的惠特克层的计算。由此，团队定义了该余中心的一个半正交分解，并使用特征层理论计算了每个分次块，最终得到了描述惠特克层的自同态代数，即交换堆上全局函数的公式。

在证明过程中，团队运用范畴化收缩原理、抛物特征层理论、何-聂函数的梯度流、广义斯普林格理论等多种理论，这些方法对于任意型的约化李代数、代数群均成立。谢瓦莱定理二维推广的证明解决了数十年来关于交换堆的即约性猜想，对理解低维流形的朗兰兹对偶有着重要意义。

相关论文信息：https://doi.org/10.4007/annals.2024.200.2.5