从概率推理的角度分析 三门问题

从概率推理的角度分析 三门问题

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/weixin_36829761/article/details/144951726

三门问题是一个经典的概率论问题，源自美国电视游戏节目。在这个游戏中，参赛者面临三扇关闭的门，其中一扇门后面是一辆汽车（奖品），另外两扇门后面各有一只山羊。参赛者首先选择一扇门，然后主持人（知道每扇门后面是什么）会打开剩下两扇门中的一扇，露出一只山羊。此时，参赛者可以选择坚持最初的选择，或者改选另一扇未被打开的门。问题是：参赛者是否应该改变最初的选择？

对于《三门问题》有三个视角：

1. 如果把第一次选择后 到 开奖，视为黑盒，则怎么选都是 33%中奖率；
2. 如果把主持人开门前的信息抹去，看成在两个门选一，则怎么选都是 50%中奖率；
3. 如果把 第一次选择后 剩余两个门视为一个组合，则中奖率为66%;

那么到底哪种是对的？

L1: 初始分析层
让我们先明确每个视角的逻辑基础：

视角1（黑盒33%）：

• 假设：整个过程是黑盒
• 推理：只看输入（初始选择）和输出（最终结果）
• 结论：33% 中奖率

视角2（忽略历史50%）：

• 假设：抹去历史信息，只看当前状态
• 推理：两门选一，简单概率
• 结论：50% 中奖率

视角3（组合思维66%）：

• 假设：剩余两门是一个整体
• 推理：切换相当于选择另外两门的组合
• 结论：66% 中奖率

L2: 深入推理层
让我们分析每个视角的问题：

1. 黑盒视角的问题：

• 忽略了中间过程包含的信息
• 违反了信息熵守恒原则
• 错误地假设信息丢失

2. 50%视角的问题：

• 违反了贝叶斯更新原则
• 人为丢弃了历史信息
• 忽略了条件概率的影响

3. 66%视角的优势：

• 保留了完整的信息链
• 符合贝叶斯更新规则
• 考虑了主持人行为的信息价值

L3: 综合分析层
正确答案是视角3（66%），原因如下：

1. 信息完整性原则：

• 概率推理必须考虑所有可用信息
• 主持人的行为包含关键信息
• 不能随意丢弃历史信息

2. 贝叶斯推理链：

初始状态：
- Door 1 (选择): 1/3
- Door 2+3 (未选): 2/3

主持人开门后：
- Door 1 (原选择): 仍然 1/3
- Remaining Door: 继承了 2/3

3. 信息熵分析：

• 初始熵：log(3)
• 主持人开门提供信息：log(2)
• 最终决策熵：保持原有信息结构

关键结论：

1. 视角3（66%）是唯一正确的，因为：

   • 保留了完整的信息链
   • 符合概率论基本原理
   • 满足信息熵守恒

2. 其他视角的错误在于：

   • 视角1：错误地忽略了中间信息
   • 视角2：人为丢弃了关键历史信息

验证方法：

1. 模拟实验：

   • 大量重复试验会证实66%概率
   • 其他视角无法解释实验结果

2. 信息论证明：

3. 贝叶斯网络分析：

   • 完整的概率图模型支持66%结论
   • 其他视角都违反了某些概率公理

最终建议：
应该始终采用 视角3 的思维方式，因为它：

1. 保持了完整的信息链
2. 符合概率论基本原理
3. 能够被实验验证
4. 满足信息熵守恒定律

这不仅正确解释了三门问题，也展示了在概率推理中保持信息完整性的重要性。

import random

def monty_hall(num_trials, switch=True):
    wins = 0

    for _ in range(num_trials):
        doors = [0, 1, 2]  # Doors labeled as 0, 1, and 2
        car = random.choice(doors)  # Randomly place the car behind one door

        # Contestant's initial choice (randomly)
        choice = random.choice(doors)

        # Host opens a door with a goat
        open_door = [d for d in doors if d != car and d != choice][0]

        # If switching, change to the other unopened door
        if switch:
            new_choice = [d for d in doors if d != choice and d != open_door][0]
        else:
            new_choice = choice

        # Check if the final choice is the car
        if new_choice == car:
            wins += 1

    return wins / num_trials

# Number of trials to run
num_trials = 10000000

print(f"Switching strategy win rate: {monty_hall(num_trials, switch=True):.4f}")
print(f"Not switching strategy win rate: {monty_hall(num_trials, switch=False):.4f}")