递推关系求通项公式详解

递推关系求通项公式详解

求数列通项公式是高中数学中的一个重要内容，掌握递推关系求通项公式的方法对于解决数列问题至关重要。本文将详细介绍几种常用的求数列通项公式的方法，包括观察法、待定系数法、累加法等，并通过具体例题帮助读者理解这些方法的应用。

求数列通项公式的常用方法

1. 利用观察法求数列的通项

观察法是求数列通项公式的基本方法之一，通过观察数列的前几项，尝试发现数列的规律，从而推导出通项公式。

2. 应用待定系数法求通项公式

待定系数法是求数列通项公式的重要方法之一，特别适用于形如的递推公式。通过引入待定系数，可以将原递推关系转化为新的等比数列，从而求得通项公式。

小结：
形如的递推公式求通项公式，只要用待定系数法构造新的等比数列；形如的递推公式，也可以转化为的形式求解。

3. 应用累加法求通项公式

累加法适用于形如的递推公式。通过将递推关系式逐项累加，可以消去中间项，从而求得通项公式。

小结：
形如的递推公式求通项公式，也可用待定系数法构造新的等比数列；形如的递推公式，直接采用累加法就可求解。

4. 递推关系形如“an＋1＝pan＋qn”的数列求通项

对于形如的递推关系，可以通过适当的变形和换元，将其转化为可求和的数列，进而求得通项公式。

典型例题解析

例1：
在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*。

解：
令an＋1＋A(n＋1)＋B＝4(an＋An＋B)，即an＋1＝4an＋3An＋3B－A。
比较系数，得A＝－1，B＝0。
∴an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，且a1－1＝1≠0。
∴数列{an－n}是等比数列，其公比为4，首项为1。

例2：
已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3n，求数列{an}的通项公式。

解：
（解题过程略）

互动探究：
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－2an＝2n，则an＝__________。
答案：
n·2n－1

解题思路总结

1. 求数列通项的常用数学思想有：

• 转化与化归思想
• 整体（换元）思想
• 方程思想

2. 求数列的通项公式常用的递推方法包括：

• 观察法
• 待定系数法
• 累加法
• 换元法

温馨提示

• 本文内容纯属数学知识分享，不涉及任何政治、经济敏感议题。
• 数列通项公式是高中数学的重要内容，掌握这些方法对于解决数列问题至关重要。