等比数列的前n项和公式教案

等比数列的前n项和公式教案

文档简介

第三单元3.3.2《等比数列的前n项和公式》教案

授课题目：等比数列的前n项和公式

授课课时：1课时

课型：讲授

教学目标：

1. 理解等比数列前n项和的概念。
2. 掌握求等比数列前n项和方法，会用等比数列前n项和公式进行计算。
3. 引导学生了解等比数列前n项和概念，通过等比数列前n项和公式的探究，使学生感受函数、方程等思想方法。
4. 通过对等比数列前n项和概念、公式的学习提高学生解决数列问题的能力。
5. 通过本节学习和运用实践，培养学生应用意识，体会数学的应用价值。

教学重难点：
教学重点：等比数列前n项和公式。
教学难点：等比数列前n项和公式的探究过程。

教学过程

创设情境

国王准备赏赐给达伊尔棋64个棋盘格中的麦粒数构成数列：1，2，4，8，16，32，……，2^63

那么你知道这国王奖赏的麦粒一共有多少颗吗？

1+2+4+8+16+32+⋯⋯+2^63

自主探究

探究1

S_64 = 1+2+4+8+16+32+⋯⋯+2^63

2S_64 = 2+4+8+16+32+⋯⋯+2^64

由②-①得：

S_64 = 2^64 - 1

国王知道这个结果吗？

探究2

设公比为q的等比数列a_1，a_2，a_3，…，a_n的前n项和为S_n，

S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + ⋯ + a_1q^(n-1) ①

式两边同乘公比q得：

qS_n = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + ⋯ + a_1q^n ②

由①-②得：

(1-q)S_n = a_1 - a_1q^n

等比数列前n项和公式：

当q≠1时，S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}

当q=1时，S_n = na_1

例题分析

例1

求等比数列12，6，3，…的前8项和。

解：a_1 = 12，q = \frac{1}{2}

由等比数列前n项和公式：

S_8 = \frac{12(1-(\frac{1}{2})^8)}{1-\frac{1}{2}} = 255\frac{255}{256}

所以，数列的前8项和是255\frac{255}{256}。

例2

在等比数列{a_n}中，S_7 = 157，a_1 = 8，求a_5。

解：因为q≠1，

所以由等比数列前n项和公式：

S_7 = \frac{8(1-q^7)}{1-q} = 157

解得a_1 = 8，

所以，a_5 = 8q^4。

巩固练习

1. 求等比数列1，3，9，…的前5项和。

解：由已知可得q = \frac{a_2}{a_1} = 3，

由Sn公式：

S_5 = \frac{1(1-3^5)}{1-3} = \frac{121}{243}

所以，此数列的前5项和为\frac{121}{243}。

2. 在等比数列{a_n}中，a_5 = 16，S_7 = 157，求a_1。

解：由a_5 = a_1q^4 = 16，

因为q≠1，

所以由等比数列前n项和公式：

S_7 = \frac{a_1(1-q^7)}{1-q} = 157

解得a_1 = 8，

所以，a_5 = 8q^4。

3. 在等比数列{a_n}中，a_3 = 12，S_3 = 6，求a_1和q。

设这个数列的公比为q，

由a_3 = a_1q^2 = 12，

因为S_3 = 6，

整理得36q^2 - 12q - 36 = 0，

解得q_1 = 2，q_2 = -\frac{3}{2}，

当q = 2时，a_1 = 3，

当q = -\frac{3}{2}时，a_1 = 8，

所以，a_1 = 8，q = 54。

课堂小结

1. 等比数列前n项和公式：

当q≠1时，S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}

当q=1时，S_n = na_1

2. 通过等比数列前n项和公式的探究，感受类比、方程等思想方法。

3. 运用等比数列解决实际问题，感受数学的应用价值。

课后作业

1. 练习册3.3.3(水平一)必做
2. 练习册3.3.3(水平二)选做
3. 预习课本3.4