为《九章算术》作注的刘徽

为《九章算术》作注的刘徽

日前，数学家刘徽诞辰1800周年纪念活动在法国巴黎启幕，这是我国首次在联合国教科文组织总部举办科学家诞辰主题纪念活动。作为中国古典数学理论的奠基人之一，未任一官半职的刘徽生前默默无闻，后世仅知晓他生活在三国曹魏至西晋时期，家乡在淄乡（今山东邹平）一带。中学数学课本里有一幅刘徽画像，其实是现代画家蒋兆和结合刘徽“魏晋布衣”的身份，考据了其所处时代的服饰特征，经合理想象而绘制的。

谈到刘徽的成就，离不开《九章算术》。不少人误以为刘徽是《九章算术》的作者，实际上，刘徽是此书的注释者。几年前，有一道高考数学题曾经“出圈”，题目里引用了《九章算术·商功》中的一个术语“鳖臑”，即四个面都为直角三角形的四面体，对题犯愁的考生根据谐音将其戏称为“别闹”。“商功”意为测量体积、计算工程用工的方法，与现代人学习的立体几何有一定的相近之处，体现出中国古代数学从实际出发来解决问题的特点。

《九章算术》是我国现存最古老的数学著作，成书年代不详。古人认为它可以追溯到周代，“周公制礼，而有九数”，“九数”是九类数学问题，亦即《九章算术》的前身。秦始皇“焚书坑儒”时，《九章算术》也遭到“散坏”的命运。西汉时期，以“善算”著称的北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌对遗文加以整理、删补，使其重新问世。全书共分方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九个部分，列出了246道例题，可以应用于面积体积计算、粮食交易、工程计量、税收摊派、地图测绘等多方面的实际问题，许多数学概念和方法领先当时的古代世界。但《九章算术》的内容较为简略，在“释古而创新”的思潮推动下，约在魏陈留王景元四年（公元263），刘徽作《九章算术注》，对《九章算术》中的算法作出严谨的证明，注释了一些错误，还创造了若干新的算法。除了为《九章算术》作注，刘徽还在《勾股》卷后增加了一章独立创造的《重差》，后来单列出来，名为《海岛算经》，内容主要是通过间接测量，利用相似三角形原理，计算远距离物体的高度、宽度等。

刘徽将自己的论证方法概括为“析理以辞，解体用图”，体现出成熟的逻辑思想。一千多年来，刘徽的成果不仅让历代数学家受益，还对亚洲其他国家产生了重要影响。“割圆术”就是刘徽的重要成果之一，他率先将极限引入数学领域。

《九章算术》中虽有“半周半径相乘，得积步”的求圆面积方法，即圆的面积等于1/2周长乘以半径，但没有给出证明过程，也没有精确的圆周率结果。刘徽采取了“割圆”的方法，从圆的内接正六边形面积开始计算，证明圆内接正多边形的边数越多，和圆的面积相差越小，当多边形的边数趋于无穷时，“则与圆合体而无所失矣”，其面积的极限即为圆面积。通过计算圆内接正192边形的面积，刘徽得到了圆周率的近似值3.14，后人称为“徽率”。他进一步计算了圆内接正3072边形面积，求出更精确的圆周率值3.1416。二百多年后，祖冲之在刘徽的基础上将圆周率的计算精度推进到小数点后7位。