高等数学微分方程全解析：从基本概念到解法详解
高等数学微分方程全解析：从基本概念到解法详解
微分方程是高等数学中的一个重要分支，它在物理学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。从描述物体运动的牛顿定律，到分析电路中的电流变化，再到预测种群的增长趋势，微分方程都是不可或缺的数学工具。本文将系统地介绍微分方程的基本概念、一阶微分方程和高阶微分方程的解法，帮助读者掌握这一重要数学工具。
高数第七章节——微分方程概念&一阶微分方程&高阶微分方程
0、博主高数相关章节目录
- 高数第一章节——极限&无穷&连续与间断
- 高数第二章节——导数&求导法则&高阶导数&微分
- 高数第三章节——微分中值&洛必达&泰勒&单调性与凹凸性&作图&弧微分与曲率
- 高数第四章节——不定积分&换元积分&分部积分
- 高数第五章节——定积分&积分上限函数&牛顿——莱布尼兹公式&反常积分与广义积分
- 高数第六章节——平面图形的面积&旋转体体积&平面截面体体积&平面曲线的弧长&定积分在物理学中的应用
- 高数第七章节——微分方程概念&一阶微分方程&高阶微分方程
- 高数竞赛必背重点（随时更）
1、数列
1、微分方程的基本概念
1.1 微分方程的定义
1.2 解微分方程
解微分方程是求导的逆运算
1.3 基本概念
2、一阶微分方程
2.1 微分方程的解
2.2 微分方程的通解不一定包括所有的解
2.3 微分方程解法一——可分离变量的微分方程
2.3.1 可分离变量的微分方程的定义
ϕ(y)dy=ψ(x)dxϕ(y)dy=ψ(x)dxϕ(y)dy=ψ(x)dx
2.3.2 求通解的步骤
2.3.3 例题——两端积分求通解
2.4 微分方程解法二——一阶线性微分方程
2.4.1 线性齐次方程
dydx+P(x)y=0dydx+P(x)y=0dxdy +P(x)y=0
2.4.2 线性非齐次方程
dydx+P(x)y=Q(x)dydx+P(x)y=Q(x)dxdy +P(x)y=Q(x)
2.4.2.1 待定系数
2.4.2.2 一阶线性方程解的结构
2.4.2.3 例题——一阶非齐次线性微分方程
2.4.3 伯努利方程
dydx+P(x)y=Q(x)∗yndydx+P(x)y=Q(x)∗yndxdy +P(x)y=Q(x)∗yn
2.4.3.1 伯努利方程的推导
2.4.3.2 伯努利方程的通解
3、高阶微分方程
3.1 微分方程解法三——可降阶的高阶微分方程
3.1.1 y(n)=f(x)y(n)=f(x)y(n)=f(x)型的方程
3.1.2 y′′=f(x,y′)y′′=f(x,y')y′′=f(x,y′)型的方程（不含未知数y，含自变量x）
3.1.2.1 定义
3.1.2.2 例题——y′′=f(x,y′)y′′=f(x,y')y′′=f(x,y′)型求原方程
3.1.3 不含有y、y′、...、y(k−1)y、y'、...、y(k−1)y、y′、...、y(k−1)
3.1.3.1 例题——y、y′、...、y(k−1)y、y'、...、y(k−1)y、y′、...、y(k−1)型例题
3.1.4 y′′=f(y,y′)y′′=f(y,y')y′′=f(y,y′)型的方程（含未知数y，缺自变量x）
3.1.4.1 例题——y′′=f(y,y′)y′′=f(y,y')y′′=f(y,y′)型例题
3.2 微分方程解法四——高阶线性微分方程
3.2.1 二阶线性微分方程
d2ydx2+P(x)dydx+Q(x)y=f(x)d2ydx2+P(x)dydx+Q(x)y=f(x)dx2d2y +P(x)dxdy +Q(x)y=f(x)
3.2.2 二阶齐次方程的结构
3.2.3 二阶非齐次线性方程的解的结构
3.3 微分方程解法五——常系数齐次线性微分方程
3.3.1 常系数齐次线性微分方程定义
3.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解
3.3.2.1 两个不相等实根(Δ>0Δ>0Δ>0)
3.3.2.2 两个相等实根(Δ=0Δ=0Δ=0)
3.3.2.3 一对共轭复根(Δ<0Δ<0Δ<0)
3.3.3.4 公式总结
3.3.4 n阶常系数齐次线性微分方程的解
3.4 微分方程解法六——二阶常系数非齐次线性微分方程
3.4.1 f(x)=eλxPm(x)f(x)=eλxPm(x)f(x)=eλxPm (x)型
3.4.1.1 定义
3.4.1.2 例题
3.4.2 f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinω]f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinω]f(x)=eλx[Pl (x)cosωx+Pn (x)sinω]型
3.4.2.1 求解公式
3.4.2.2 例题
3.4.2.3 生活中的应用
解决振动和共振一类用正余弦描述的物理问题