二项式系数之和怎么求？二项式系数C的计算方法详解

二项式系数之和怎么求？二项式系数C的计算方法详解

引用

新浪网

1.

https://m.edu.iask.sina.com.cn/jy/i75IS0g8Xd.html

二项式系数的求和是数学中一个重要的知识点，特别是在组合数学和概率论中有着广泛的应用。本文将详细介绍二项式系数的求和方法、性质及其在不同场景下的应用，帮助读者全面理解这一数学概念。

二项式系数之和的计算方法

二项式系数之和的公式为：
[C(n,0) + C(n,1) + \ldots + C(n,n) = 2^n]

在 ((a+b)^n) 的展开式中，令 (a=b=1)，即得二项式系数的和：
[C(0,n) + C(1,n) + \ldots + C(n,n) = 2^n]

在 ((ax+b)^n) 的展开式中，令未知数 (x=1)，即得各项系数的和为 ((a+b)^n)。

例如：((5x - \frac{1}{\sqrt{x}})^n) 的展开式各系数之和为 (M)，其中 (M) 的算法为：令 (x=1)，得 (4^n)；二项式系数之和为 (N)，其中 (N) 的算法为：(2^n)。从而有：
[4^n - 2^n = 56]

解这个方程：
[56 = 7 \times 8]
而 (4^n - 2^n = (2^n) \times (2^n - 1))，是一个奇数乘以一个偶数，所以 (2^n = 8)，有 (n=3)。

二项展开式的性质

1. 在二项展开式中，与首末两端等距离的两项系数相等。
2. 如果二项式的幂指数是偶数，中间的一项系数最大。如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的系数最大，并且相等。

二项式定理的发现历程

二项式系数表在中国被称为贾宪三角或杨辉三角，一般认为是北宋数学家贾宪所首创。它记载于杨辉的《详解九章算法》（1261年）之中。在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》（1427年）中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。

在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。但一般却称之为帕斯卡三角形，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。无论如何，二项式定理的发现，在我国比在欧洲至少要早300年。

二项式定理的详细解释

学习二项式有一点很重要就是要把公式写对。

（1）二项式定理
[(a+b)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1}b + \ldots + C_n^ra^{n-r}b^r + \ldots + C_n^nb^n]
其中 (r=0,1,2,\ldots,n,n \in N)。

其展开式的通项是：
[T_{r+1} = C_n^ra^{n-r}b^r \quad (r=0,1,\ldots,n)]

其展开式的二项式余数是：
[C_n^r \quad (r=0,1,\ldots,n)]

（2）二项式余数的性质

① 其二项展开式中，与首末两端等距离的二项式余数相等，即 (C_n^r = C_n^{n-r} \quad (r=0,1,2\ldots,n))

② 由 (C_n^r \geq C_n^{r-1})
[C_n^r \geq C_{n+1}^r]
得 (\frac{n-1}{2} \leq r \leq \frac{n+1}{2})

当 (n) 为偶数时，其展开式中央项是 (T_{n/2+1})，其二项式余数 (C_n^{n/2}) 为最大；

当 (n) 为奇数时，其展开式中间两项是 (T_{(n+1)/2+1}) 与 (T_{(n+1)/2+1})，其二项式系数 (C_n^{(n-1)/2})（或 (C_n^{(n+1)/2})）为最大。

③ 相邻两项二项式系数的关系：
[C_n^{r+1} = \frac{n+r}{r+1}C_n^r \quad (r \leq n,n \in N,r \in N)]

④ 二项展开式的所有二项式系数的和：
[C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \ldots + C_n^n = 2^n]

⑤ 二项展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和：
[C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \ldots = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \ldots = 2^{n-1}]

二项式定理的应用

（1）各项的二项式系数与该项的系数在两项系数都=1时相等
各项的二项式系数与该项的系数不能全部互为相反数，要分奇数项和偶数项

（2）((x-1)^{11}) 的各项的二项式系数与该项的系数奇数项相等，偶数项互为相反数

二项式定理各项系数和的求法

二项式定理中“各项系数和”是指所有的系数和。可将 (x=1) 代入计算结果即为结果。

二项式的各项系数之和，可以采用赋值法。

二项式系数之和公式为：
[C(n,0) + C(n,1) + \ldots + C(n,n) = 2^n]

二项式系数，或组合数，是定义为形如 ((1 + x)^n) 展开后 (x^k) 的系数（其中 (n) 为自然数，(k) 为整数）。从定义可看出二项式系数的值为整数。

定理的意义

牛顿以二项式定理作为基石发明出了微积分。其在初等数学中应用主要在于一些粗略的分析和估计以及证明恒等式等。

这个定理在遗传学中也有其用武之地，具体应用范围为：

• 推测自交后代群体的基因型和概率
• 推测自交后代群体的表现型和概率
• 推测杂交后代群体的表现型分布和概率
• 通过测交分析杂合体自交后代的性状表现和概率
• 推测夫妻所生孩子的性别分布和概率
• 推测平衡状态群体的基因或基因型频率等