八皇后问题的两种解法：回溯法与位运算优化
八皇后问题的两种解法：回溯法与位运算优化
八皇后问题是一个经典的算法问题，要求在8×8的棋盘上放置八个皇后，使得任意两个皇后都不能在同一行、同一列或同一斜线上。本文将详细介绍两种解决八皇后问题的方法：回溯法和位运算优化方法，并通过代码实现和性能对比帮助读者更好地理解这两种算法。
1. 八皇后问题描述
八皇后问题最早由国际象棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出。该问题要求在8×8的棋盘上放置八个皇后，使得任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。高斯认为有76种方案，而后来有人用图论的方法解出92种结果。
2. 回溯法求解八皇后问题
回溯法是一种通过尝试解决子问题来寻找解决方案的算法。在八皇后问题中，回溯法的核心思想是：如果在放置过程中发现皇后没有空白位置放置，就需要回到之前的时刻，重新选择该皇后放置方法，从而使后面的皇后可以正常摆放。
2.1 由四皇后问题引入
为了简化问题，我们先从四皇后问题开始。四皇后问题的两种摆放形式如下：
2.2 皇后的占位问题
如果在棋盘上放置一个皇后，它实际上占据了哪些位置呢？答案是：上、下、左、右、左上、左下、右上、右下八个方向的位置都会被占据。
2.3 皇后的放置过程
放置第一个皇后，用橙色标记它的攻击位置。在第二行白色格子处，放置第二个皇后，用蓝色标记攻击位置。以此类推，直到所有皇后都放置完毕。
2.4 回溯算法核心
回溯算法的核心在于：如果在放置过程中发现皇后没有空白位置放置，就需要回到之前的时刻，重新选择该皇后放置方法，从而使后面的皇后可以正常摆放。
2.5 回溯算法的求解过程
在求解过程中，需要定义两个二维数组：attack[][]用于标记皇后的攻击位置，queen[][]用于保存放置结果。通过递归的方式，从第一行开始，逐行放置皇后，并更新attack和queen数组。如果当前行没有任何一列可以放置皇后，就需要回溯。
2.6 验证算法和代码实现
以下是使用回溯法解决N皇后问题的C++代码实现：
class Solution {
public:
vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
vector<string> queen;
vector<vector<int>> attack;
vector<vector<string>> solve;
for(int i=0;i<n;i++){
attack.push_back(vector<int>());
for(int j=0;j<n;j++){
attack[i].push_back(0);
}
queen.push_back(string(n, '.'));
}
backtrack(0,n,queen,attack,solve);
return solve;
}
void put_queen(int x,int y,vector<vector<int>> &attack){
static const int dx[]={-1,1,0,0,-1,-1,1,1};
static const int dy[]={0,0,-1,1,-1,1,-1,1};
attack[x][y]=1;
for(int i=1;i<attack.size();i++){
for(int j=0;j<8;j++){
int nx=x+i*dx[j];
int ny=y+i*dy[j];
if(nx>=0&&nx<attack.size()&&ny>=0&&ny<attack.size()){
attack[nx][ny]=1;
}
}
}
}
void backtrack(int k,int n,vector<string> &queen,vector<vector<int>> &attack,vector<vector<string>> &solve){
if(k==n){
solve.push_back(queen);
return;
}
for(int i=0;i<n;i++){
if(attack[k][i]==0){
vector<vector<int>> temp=attack;
queen[k][i]='Q';
put_queen(k,i,attack);
backtrack(k+1,n,queen,attack,solve);
attack=temp;
queen[k][i]='.';
}
}
}
};
3. 位运算优化方法求解八皇后问题
位运算优化方法是通过位操作来表示皇后的位置和限制条件，从而提高算法的效率。这种方法的核心思想是：使用一个整数的位信息来表示棋盘上皇后的位置。
3.1 用位信息表示列限制
用位信息来表示皇后放置的位置。一个整型int变量有32位，表示现在哪些列已经摆放了皇后。
3.2 用位信息表示对角线限制
从右上往左下的限制和从左上往右下的限制都可以通过位移操作来表示。
3.3 整合限制条件
将列限制、右上到左下限制和左上到右下限制通过位运算整合在一起，得到总的限制条件。然后通过位运算找到可以放置皇后的位置。
以下是使用位运算优化方法解决N皇后问题的Java代码实现：
class Solution {
public static int totalNQueens(int n) {
if (n < 1) {
return 0;
}
int limit = (1 << n) - 1;
return f2(limit, 0, 0, 0);
}
public static int f2(int limit, int col, int left, int right) {
if (col == limit) {
return 1;
}
int ban = col | left | right;
int candidate = limit & (~ban);
int place = 0;
int ans = 0;
while (candidate != 0) {
place = candidate & (-candidate);
candidate ^= place;
ans += f2(limit, col | place, (left | place) >> 1, (right | place) << 1);
}
return ans;
}
}
4. 性能对比
通过实验对比发现，位运算优化方法在解决大规模皇后问题时具有明显的优势。例如，在解决16皇后问题时，位运算优化方法可以在10秒内完成计算，而传统的回溯法则需要更长的时间。
总结
八皇后问题是一个经典的算法问题，通过回溯法和位运算优化方法可以有效地解决。其中，位运算优化方法在处理大规模问题时具有更高的效率。