永磁同步电机（PMSM）同步旋转坐标系仿真模型详解
永磁同步电机（PMSM）同步旋转坐标系仿真模型详解
电机处于高速旋转运动状态，在abc三相静止坐标系（自然坐标系）所建立的PMSM数学模型，存在复杂的变量耦合，难以分析和求解。通过数学变换将abc三相静止坐标系转换到αβ两相静止坐标系和dq同步旋转坐标系，可以对模型进行解耦和简化。本节讨论坐标系变换的模型与仿真。
从abc三相静止坐标系中由3个微分方程描述的三相永磁同步电机标准数学模型开始，我们可以通过的Clarke变换转换到αβ两相静止坐标系，然后使用Park变换将方程从时域转换到拉普拉斯域，模型由2个简单的线性代数方程描述，如图所示。
1. Clarke变换的模型与仿真
1.1 Clarke变换
通过Clarke变换（有些文献也写作Clark变换）将abc三相静止坐标系转换到αβ两相静止坐标系，记为$T_{3s/2s}$。
两相静止坐标系中的信号相互正交，更容易分离基波分量和谐波分量。对于PMSM，假设虚拟电机有两个虚拟绕组，呈90°轴距分布，在定子槽中呈正弦分布，这两个绕组分别为直轴绕组和交轴绕组，即α，β轴。为简化分析过程，可以在建立αβ静止坐标系时将α轴与abc静止坐标系的a相轴重合。
Clarke变换公式如下。通过Clarke变换，将abc三相静止坐标系下的$f_a,f_b,f_c$分别映射到α-β轴上，得到αβ两相静止坐标系下的虚拟物理量$f_α, f_β$。
$$
[f_α, f_β, f_0]^T = T_{3s/2s} [f_a, f_b,f_c]^T
$$
$$
T_{3s/2s} =\frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}
$$
$f$表示电压$u$，电流$i$，磁链$ψ$等时变变量，例如：
$$
\begin{bmatrix}i_{α} \i_{β}\i_o\end{bmatrix} = T_{3s/2s} \begin{bmatrix}i_a \i_b \ i_c\end{bmatrix}= \frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 & -1/2 & -1/2\ 0 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3}/2\ \sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}i_a \i_b \ i_c\end{bmatrix}
$$
式中，$i_0$为零序分量。
Clarke变换的逆变换，称为反Clarke变换（用$T_{2s/3s}$表示）。
$$
\begin{bmatrix}u_a \u_b\u_c\end{bmatrix} = T_{2s/3s} \begin{bmatrix}u_{α}\u_{β}\u_o\end{bmatrix} =\frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 & 0 & \sqrt{2}/2\ -1/2 & \sqrt{3} /2 & \sqrt{2}/2\ -1/2 & -\sqrt{3} /2 & \sqrt{2}/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}u_{α} \u_{β} \u_o\end{bmatrix}
$$
1.2 Clarke变换的仿真模型
根据Clarke变换的数学公式，使用Matlab/Simulink建立Clarke变换的仿真模型。
（1）新建模型：打开Matlab软件，在Simulink模型编辑界面中新建“空白模型”。
（2）添加模块：打开库浏览器，从Simulink、Simscape\Electrical\Specialized Power Systems等标准库中依次选取模块。按照设计计算结果设置模块参数。用户也可以直接在模型编辑界面中，双击鼠标左键调出“搜索模块”弹窗，输入模块名称，直接选择和添加模块。
（3）搭建模型：按照电路原理图连接各模块，搭建Buck变换电路的仿真模型。
（4）信号监测：使用信号标记模块goto、信号分解模块Demux、总线选择模块Bus Select，提取和选择需要观测的信号，作为示波器的输入信号。
（5）模型设置：选择“模型配置参数”，在求解器中选择仿真算法ode23tb(stiff/TR-BDF2)，仿真时间为0.02s。
按照以上步骤，建立Clarke变换和反变换的仿真模型（Clarke01.slx），如下图所示。
仿真结果如下图所示。
2. Park变换的模型与仿真
2.1 Park变换
通过Park变换将αβ两相静止坐标系转换到dq同步旋转坐标系，记为$T_{2s/2r}$。
Park变换公式如下。通过Park变换，将αβ两相静止坐标系$f_α, f_β$分别映射到d-q轴上，得到dq同步旋转坐标系下的虚拟物理量$f_d, f_q$。
$$
[f_d, f_q]^T = T_{2s/2r} [f_{α}, f_{β}]^T
$$
$$
T_{2s/2r} = \begin{bmatrix} cos(θ)&sin(θ)\ -sin(θ)&cos(θ)\ \end{bmatrix}
$$
$f$表示电压$u$，电流$i$，磁链$ψ$等时变变量，例如：
$$
\begin{bmatrix}u_d\u_q\end{bmatrix} = T_{2s/2r} \begin{bmatrix}u_{α} \u_{β}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos(θ)&sin(θ)\ -sin(θ)&cos(θ)\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}u_{α}\u_{β}\end{bmatrix}
$$
式中，$i_0$为零序分量。
Park变换的逆变换，称为反Park变换（用$T_{2r/2s}$表示）。
$$
\begin{bmatrix}u_{α}\u_{β}\end{bmatrix} = T_{2r/2s} \begin{bmatrix}u_d\u_q\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos(θ) & -sin(θ)\ sin(θ) & cos(θ) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}u_d\u_q\end{bmatrix}
$$
2.2 Park变换的仿真模型
根据Clarke变换的数学公式，使用Matlab/Simulink建立Clarke变换的仿真模型。
仿真结果如下图所示。
由仿真结果可见，经过坐标变换，在dq同步旋转坐标系中的$V_d, V_q$成为解耦的直流量，便于进行控制。
3. Simscape标准库变换模块
Simscape标准库提供了abc to Alpha-Beta-Zero模块和abc to dq0模块。
3.1 abc to Alpha-Beta-Zero模块
abc to Alpha-Beta-Zero模块对三相abc信号进行Clarke变换。Alpha-Beta-Zero to abc模块对αβ0分量执行Clarke逆变换。
假设$u_a、u_b、u_c$量表示三个正弦平衡电压：
$$
\begin{bmatrix}u_a\u_b\u_c\end{bmatrix} = U \begin{bmatrix}cos{(\omega t)}\cos{(\omega t-2\pi/3)}\cos{(\omega t+2\pi/3)}\end{bmatrix}
$$
则$i_α$和$i_β$分量表示旋转空间矢量$Is$在α轴与相位a轴对齐的固定参考系中的坐标。振幅与三个电流产生的旋转磁动势成正比。
3.2 abc to dq0模块
abc to dq0模块使用Park变换将三相（abc）信号变换为dq0旋转参考系。旋转框架的角位置由输入$wt$给出，单位为rad。
dq0 to abc模块使用逆Park变换将dq0旋转参考系变换为三相（abc）信号。旋转框架的角位置由输入$wt$给出，单位为rad。
当$wt=0$处的旋转帧对齐在相位A轴后90度时，Mag=1且phase=0度的正序信号产生以下dq值：d=1，q=0。
该模块支持用于Park变换：
- 当旋转框架在t=0时与相位A轴对齐时，即t=0时，d轴与A轴对齐。这种类型的Park变换也称为余弦型Park变换。
- 当旋转框架在相位A轴后对齐90度时，即t=0时，q轴与A轴对齐。这种类型的公园改造也被称为正弦型Park变换。在具有三相同步和异步电机的Simscape™Electrical™专用电力系统模型中使用此转换。
通过在三相静止参考系中执行abc到αβ0-Clarke变换，从abc信号中推导出dq0分量。然后在旋转参考系中执行αβ0到dq0的变换，即通过对空间向量$Us=u_α+j·u_β$执行$-ωt$旋转。
abc-to-dq0变换取决于t=0时的dq帧对齐。旋转坐标系的位置由$ω.t$给出，其中$ω$表示dq坐标系的旋转速度。
4. 基于S函数的仿真模型
Matlab/Simulink在Simscape标准库中提供了多种坐标转换模块，使用abc_to_dq0模块可以完成从abc三相静止坐标系到dq旋转参考系的转换。
基于abc_to_dq0模块直接建立的仿真模型更加简洁。对于复杂算法也可以使用Simulink中的S函数建立仿真模型，如下图所示。
参考文献：袁雷等，现代永磁同步电机控制原理及MATLAB仿真，北京航空航天大学出版社，2016