数学中的内部点、边界点和外部点：概念与区别

数学中的内部点、边界点和外部点：概念与区别

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/JESSIENOTCAR/article/details/139402852

在数学和优化理论中，内部点、边界点和外部点是描述集合性质的重要概念。本文将通过通俗的语言和数学表达式，帮助读者理解这些概念，并通过具体的例子和图示，进一步解释极值点和普通边界点的区别。

内部点

通俗理解：
给定一个集合S，对于它的内部点x而言，我们以x为圆心、以R为半径画个球，总是存在一个R能够使得我们画的这个球里的所有点，都仍然属于S。

数学表达：
如果S是一个集合，点x是S的内部点，当且仅当存在一个ϵ > 0，使得x的ϵ-邻域B(x, ϵ)完全包含在S中。

边界点

通俗理解：
一个点称为集合的边界点，如果它在集合内部不再存在一个开集（一个不包含边界的子集），而任何足够小的邻域（即这个点周围的任意小的区域）都包含集合内的点和集合外的点。

凸集的边界点有什么特点？
从边界点来看，凸集的边界点一定也可以找到超平面（supporting hyperplane）把它撑（分离开）到某一边去。非凸的在某些点找不到一个平面可以把它撑起来（分离）。

但是边界点不完全相同，又分为极值点和普通的边界点。如下图所示，A点是极值点，B点是普通的边界点。

观察可以发现，B点位于它旁边两个点的连线上，但A点不是。更数学的表述方式是，极值点不能表示为集合中其他点的凸组合。（关于凸组合的理解可以参考我的文章优化基础（二）：线性组合、仿射组合、锥组合、凸组合、线性集合、仿射集合、锥集合、凸集合的理解）.

外部点

通俗理解：
x是集合S的外部点，则x和S之间一定可以插入一个超平面，可以分开x和S。