范德蒙德行列式计算技巧：如何处理“缺项”情况

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@小白创作中心

范德蒙德行列式计算技巧：如何处理“缺项”情况

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CSDN

https://blog.csdn.net/weixin_39594439/article/details/113037162

范德蒙德行列式是线性代数中的一个重要概念，在行列式的计算问题中占据着特殊的地位。特别是在处理"缺项"范德蒙德行列式时，需要运用一些特殊的技巧。本文将详细介绍如何通过加边法来计算这类行列式，帮助读者掌握这一重要计算方法。

在行列式的计算问题中，有一些难度较大，具有较高技巧性的题目，作为加边法的应用，本节我们来介绍“缺项”范德蒙德行列式的计算方法，这里利用了一种不同于上节的加边技巧，请读者仔细体会。(由于公式较多，故正文采用图片形式给出。)

一、概述

范德蒙德行列式是一种特殊的行列式，其元素排列具有特定的规律。对于一个n阶范德蒙德行列式，其元素可以表示为：

$$
V_n = \begin{vmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}
\end{vmatrix}
$$

其计算公式为：

$$
V_n = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)
$$

二、计算“缺项”范德蒙德行列式的典型例题

在实际计算中，我们经常会遇到“缺项”的范德蒙德行列式，即行列式中缺少某些幂次项。这类问题的计算难度较大，需要运用特殊的技巧。下面通过一个具体例题来说明计算方法。

例题

计算下列n阶行列式：

$$
D_n = \begin{vmatrix}
1 & x_1 & x_1^3 & \cdots & x_1^{2n-3} \
1 & x_2 & x_2^3 & \cdots & x_2^{2n-3} \
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
1 & x_n & x_n^3 & \cdots & x_n^{2n-3}
\end{vmatrix}
$$

解题思路

观察发现，这个行列式缺少了所有偶数次幂项。为了解决这个问题，我们可以采用加边法，通过构造一个新的行列式来简化计算。

三、利用加边法构造“行列式形式”的函数f(x)

为了计算上述“缺项”范德蒙德行列式，我们可以构造一个辅助函数f(x)，使得f(x)的系数与原行列式的元素相对应。具体来说，我们构造如下形式的函数：

$$
f(x) = \begin{vmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} & x_1^n \
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} & x_2^n \
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} & x_n^n \
0 & 1 & 2x & \cdots & (n-1)x^{n-2} & nx^{n-1}
\end{vmatrix}
$$

通过对比上一节的内容，可以看出这种加边方式与之前有所不同。上一节中，我们是通过在行列式的最后一行添加新的元素来构造辅助函数，而这里我们是在最后一行添加了关于x的导数项。这种构造方式的目的是为了利用行列式的性质，将原问题转化为求解多项式的系数问题。