信号采样与采样定理
信号采样与采样定理
信号采样与采样定理是信号处理领域的重要基础理论，广泛应用于通信、控制、音频处理等多个领域。本文将从离散系统概述开始，详细解释采样过程及其数学描述，并重点阐述采样定理的原理和应用。
一、离散系统概述
- 离散系统定义：系统中有一处或几处信号是脉冲串或数码的系统。
- 离散系统的分类：离散系统可以分为采样系统和数字系统两大类。采样系统具有时间离散，数值连续的特点；而数字系统具有时间离散，数值量化的特点。
- 离散系统的研究方法：用Z变换建立离散系统的数学模型，克服了使用拉氏变换建立传函产生超越函数的障碍。
二、采样过程及数学描述
把连续信号变成离散信号的过程，叫做采样过程。
在理想采样中，采样过程可以看做一个单位脉冲序列δ T ( t ) 被输入信号e ( t ) 进行幅值调制的过程。其中δ T ( t ) 为载波信号，e ( t ) 为调制信号。要注意的是δ T ( t ) 的表达式：
δ T ( t ) = ∑ n = 1 + ∞ δ T ( t − n T )
不要理解为求和表达式，它有作用幅值1和作用的时间t = n T ，T 为采样周期。采样过程如下图所示：
三、采样定理
信号的采样与恢复往往是成对出现的，例如一个数字控制器只能控制离散的数字信号，所以它的输入必须是经过采样后离散信号，而控制对象是由连续信号控制的，所以数字控制器处理后的信号必须经过恢复成连续信号，才能起到控制效果。
如下图所示，信号E ( j ω ) 经过采样器采样后得到E ∗ ( j ω )
观察采样的结果不难发现，采样后信号（离散）的象函数E ∗ ( j ω ) 就等于原信号（连续）象函数以1 ω s 为周期的周期延拓。即在频域上表现为每隔一个ω s ，就复现一次原信号的频谱。（傅里叶变换可证）
由于每一个周期的信号都包含有原信号的"全部信息"，所以只要能获取到采样后信号任意一个周期内的信息，就能将信号无失真地恢复成连续信号。
有一种叫做滤波器的装置，它可以对信号中特定频率的频点或该频点以外的频率进行有效滤除，得到一个特定频率的信号，或消除一个特定频率后的信号。如果使用滤波器把采样后信号一个周期以外的全部信号都滤除掉，就能得到原信号完整的频谱信息，也就是能通过傅里叶反变换恢复成原信号了。
补充：
频谱，实质上就是一个时间函数所含不同频率谐波成分的分布情况。把一个时间函数进行傅里叶级数展开再做傅里叶变换就可以得到这个时间函数对应的频谱。也就是说时域信号一旦确定，那么它的频谱也就确定了。
这里的恢复原信号，并不是指恢复原来输入的信号(这没有意义)，而是指把输入的离散信号经过处理后的信号恢复成“与输入信号同性质”的连续信号。
理解采样结果、采样信号的恢复以及为什么要恢复是理解采样定理的关键。
采样定理表达式很简洁：
ω s ≥ 2 ω m a x
即可以从采样信号e ∗ ( t ) 中完全复现连续信号e ( t ) 的条件是：采样频率ω s 必须大于或等于输入采样开关的连续信号e ( t ) 频谱中的最高频率的2倍。
为什么是2倍？观察下图：
假设能通过滤波器的频率范围为( − ω m , ω m )，
当ω s ≥ 2 ω m 时，使用滤波器可以获取采样信号一个周期内的全部信息。
当ω s < 2 ω m 时，使用滤波器不仅可以获取采样信号一个周期内的全部信息，还把隔壁周期的信息也获取过来了，并且无法分开，也就是获取到的频谱相比较于原信号发生了变化。根据一个时域信号对应一个频谱，所以获取到的频谱恢复成连续信号就不是原来的信号了。也就是大家说的频谱混叠。
至于这个2嘛，就看上图ω s 与ω m 的几何关系就好了，这么漂亮的图，应该很好看懂吧。