初中数学几何重难点方法合集：涵盖所有压轴技巧

初中数学几何重难点方法合集：涵盖所有压轴技巧

本文整理了初中数学几何部分的重点和难点，涵盖了特殊倍数辅助线构造法、截长补短、旋转、角平分线、一线三垂直、相似、手拉手模型、折叠问题、几何探索规律压轴题、四点共圆、圆内接四边形思考策略、圆中线段的积与商、圆中线段的计算方法、几何重难点模型、建系法、将军饮马模型、胡不归问题、阿氏圆、瓜豆原理、点斜式、反比例函数通用策略、二次根式的配方、因式分解的进阶技巧、数与形（化简求值）、难题鉴赏等知识点。

特殊倍数辅助线构造法

看到45º、30°、60º等特殊角的三角函数值，构造含有特殊角的直角三角形。将题目简单化。几何大题中要注意四点共圆！！！一题多解。120°的等腰三角形三边比： 1：1：根号三。

截长补短

两线段相加，优先选择截长补短。初中几板斧之一：全等。截长补短成功的条件：截长补短后能否找到类似全等、等腰之类的重要条件。

旋转

用托勒密固然可以但证明太过繁琐，不推荐（选择填空适用）。第二个图连接AC。四点共圆的题几乎都可以用托勒密秒杀，但大题证明太麻烦，尽量不用（选择填空适用）。

本题是标准的半角模型。引申版。

对补邻相等模型（四边形一对对角和为180°，一组对边相等）。

隐圆

还有四点共圆和阿氏圆。将动点与定点联系起来。找好临界点，从旋转中找到不变的长度，进而发现圆。定弦定角，找定弦，找定角。隐圆的题一定要发现动点中有哪些不动的性质。隐圆的题可以自己再画一张草图来观察有哪些性质。

隐圆方法总结：

1. 定弦定角
2. 阿氏圆
3. 四点共圆

定弦定角例题。阿氏圆例题。第一问证明：过点E做EM⊥AF，EN⊥BE。∴S△ABF：S△ACE=AB:AC（过程参考角平分线定理）。∵S△ABF：S△ACE=BE:CE。∴AB:AC=BE:CE。

角平分线

一线三垂直（一线三等角）

相似

手拉手模型

折叠问题

当常规解法能解，但较为复杂时，可以考虑连接类似于D和M。连接后就会出现类似射影定理的模型（如果没有自己构造）。

几何探索规律压轴题

照葫芦画瓢（只在大多数题目有用）（把前两问的辅助线或思路全用到第三问上）+扎实的几何基础。

四点共圆

向四点共圆的方向考虑，找条件。四点共圆的题目中，只要关于线段长度的题，基本都可以用托勒密秒杀。

证明：在AC上取一点T，使∠ABT=∠CBD。△ABT∽△CBD。∴CDAB=ATBD①。△ABD∽△CBT。∴CTBD=BCAD②。由①+②得。BD*(CT+AT)=ABCD+BCAD。既BDAC=ABCD+BC*AD。

托勒密不等式与上述同理。结论：ABCD+BCAD≥BD*AC。

圆内接四边形思考策略

做几何题如果做不出来（或题目图画的不准），一定要重新画图。如果题目看不清，把图放大一下。中考中有关双切线的题。思路：

1. 弦切角定理（切线与弦的夹角等于弦所对的劣弧的圆周角）（要证：过切点做直径）
2. 点到圆上两条切线长度相同
3. 连接两个切点，连点和圆心的线垂直平分两切点的连线

圆中线段的积与商

圆中线段的计算方法

几何重难点模型

十字模型

形如三个矩形的图形叫做十字模型。D为AC中点，AF⊥BD。十字模型中若出现等腰直角三角形，将三角形沿斜边翻折，得到正方形（既Rt等腰△ABC沿BC折叠，构成正方形ABA'C），再出相似。

如果题目中的“十字”不和端点重合，自己构造直角三角形。

倍长中线

三角形：如果一个题与中线有关，且没思路是，可以考虑倍长中线。许多中线被另一条线穿过的三角形都需要倍长中线。

平行四边形：题目。

截长补短

当截长不好做时，考虑补短；反之亦然。当出系数时，构直角三角形。

手拉手（较易）

其他

建系法（中考下下策）

关于圆的题目可以考虑建系

设ON为1。x²+y²=r²是圆的方程。

关于矩形正方形的题基本都可以建系

算出每个点的坐标，中点用中点坐标公式算（公式是（x₁+x₂）/2，（y₁-y₂）/2），距离用两点坐标公式（公式是根号下的（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²）。

课后作业：∵A（-2√3.-2）C（x，y）B（2√3，-2）。∴D（（x-2√3）/2，（y-2）/2）。E（（x+2√3）/2，（y-2）/2）。∴DE=2√3。∴S₁=√3（-（y-2）/2）。S₂=√3（-（y+2）/2）。∵S₁²-S₂²=21。∴-2y=21。∴y=-7/2。∴x=-√15/2。∴AC=(√15)±√3。

将军饮马模型

基础版。变形。将军饮马模型的突破点就是过定点做对称！使点在线段的异侧。有些题目并不能直接用将军饮马，这时运用全等或相似来进行导边。遇到线段相加的最值问题首选将军饮马。

胡不归问题

有系数的线段和最值问题，可选择胡不归。胡不归的本质是利用sin将有系数的线段转化为另一条与无系数线段有共同点的线段（既转化为将军饮马）。

阿氏圆

阿氏圆的比例证明是内角角平分线定理和外角角平分线定理联合证明。四点共圆例题。

∠AFB=120°。△BCE≌△ABD。设∠FBD=x=∠BAD。∵∠FDC=x+60°。∠BEC=60°+60°-x。∠C=60°。∴∠DFE=120°。

瓜豆原理

直线版。可以通过画出初始形态来找运动轨迹。圆版。做圆时，一定要把夹角找清楚。题目。圆心与定点所成图形与两动点与定点所成图形一样。做圆的瓜豆一定要满足瓜豆条件后再使用，这样可以帮你验证夹角是否找对。

点斜式（记住就行）

反比例函数通用策略

反比例函数题的关键是翻译（说人话就是用题目条件变成点的坐标）。

二次根式的配方

数：1、前面不是2的将前面的系数变为2，余下的乘到根号里面。2、规律是a+b=m（a、b都要在根号下）、ab=n。字母：大数（换元法！！）。

因式分解的进阶技巧

因式中少一项。若x₁x₂前面的系数不为1，乘分数化为1。含参+高次。【自主招生】因式分解进阶技巧（中档） P32 - 11:07。含参因式分解时将参数分离，分离后可用长除法。

数与形（关键是形式）（化简求值）

1. 通过换元来看出形式
2. 了解条件之间的关系；x+y和xy它们形式的联系，想到韦达定理
3. 三位一体：基础形式见图片右侧。此类题要将题目转化为基础形式进行求解
4. 通过式子把根号去掉，得到关于未知数没有根号的整式，再利用大除法来进行因式分解

难题鉴赏（是真的难）

原来我以为函数无难题（只在本地市），但看完以下几题……，请做好心理准备。

题一

【难题鉴赏】综合性极强函数压轴题！学到不少（拔高） P34 - 03:20 第二问。两个倾斜角度一样，说明k的绝对值一样。【难题鉴赏】综合性极强函数压轴题！学到不少（拔高） P34 - 07:05 第三问。n的答案一。答案二太复杂，根本做不出来。本题关键在于讲题目中给出的两个角的条件转化为边的条件，所用到的两个模型。

题二

【难题鉴赏】2015哈尔滨中考函数压轴题，品品？（拔高） P35 - 02:07 第二问。第二问并不难，找好条件，答案近在咫尺。PN=5/4。【难题鉴赏】2015哈尔滨中考函数压轴题，品品？（拔高） P35 - 11:09 第三问。

题三

前两问只要读懂题，就没难度。第三问，也没难度（这绝对是难题鉴赏中最简单的一道了！）。

题四（模拟过程）

发现小问。朝上的是30°，朝下的一定也是30°。故答案为120°或60°。尝试小问。【难题鉴赏】高中三角函数解出2021河北几何压轴（拔高） P36 - 15:55 情况一。将D点的运动轨迹模拟一下，发现当D、C、B共线时，D就无法继续运动了（无论上下）。一哥画的右下方的图和图2对比，发现BM最大值为25。

拓展小问（一哥用的是高中方法）。①【难题鉴赏】高中三角函数解出2021河北几何压轴（拔高） P36 - 17:39 余弦定理。初中方法是做垂线。②还是高中的方法。【难题鉴赏】高中三角函数解出2021河北几何压轴（拔高） P36 - 23:51 还是余弦定理。

当点D在AB下方时。

cos360°可以直接忽略。初中方法是做垂线勾股定理，相似。