变分法原理：从历史轶事到数学本质
变分法原理：从历史轶事到数学本质
变分法是数学物理中处理极值问题的重要工具，从最速降曲线到悬链线，其应用广泛且深刻。本文将带你领略变分法的基本思想及其在经典问题中的精彩应用。
变分原理
对付数学物理中的极值问题，变分法可谓是不可或缺的利器。今天，我们就来深入探讨变分法的基本思想。
变分法的历史轶事
大约在1696年6月，瑞士数学家Johann Bernoulli在第一份德语科学期刊《Acta Eruditorum》上向全球数学家发起了一项挑战：让一个物体从静止开始沿着一个光滑无摩擦的轨道下滑，如果要求下滑过程耗时最短，轨道应该是什么形状？
这个问题被称为最速降曲线问题。它吸引了众多数学家的关注，包括Johann本人、他的哥哥Jacob Bernoulli、Gottfried Leibniz和Guillaume de l'Hôpital等人都给出了各自的解法。
当这个问题传到Issac Newton耳中时，他仅用一晚上的时间就运用变分法解决了问题，并匿名将解答寄回。Newton的解法如此精妙，即便没有署名，Johann也立刻认出了这位数学巨匠，留下了著名的评价："I recognize the lion by his claw mark."
变分法的基本原理
假设我们有两个定点A和B，连接这两点的任意曲线的方程y(x)都将满足如下的边界条件：
现在考虑如下形式的定积分：
其中F是关于y和其一阶导数y'的函数，我们期望找到一个具体的y(x)，使得I有极值（极大或极小）。
在一般的极值问题中，我们考察的是自变量x的变化：x取值多少时，函数会有极值。而现在这个新问题的不同之处在于，我们考察的是函数y的变化：y是什么形式时，I会有极值。然而这两类问题依然有共通之处：当I取极值时，对y作微小的变化，I在一级近似下应该保持不变。
如果y有微小改变δy（高大上叫法：δy称作函数y的变分），那么I的变化为：
相应的变化为：
方括号里的第二项可以改写成：
然后我们可以进行分部积分：
由于y的边界条件固定，δy(0)=δy(1)=0，所以分部积分出来的第一项为零，仅第二项有贡献。代回（4）式中，稍作化简可以得到：
如果I有极值，对任意满足边界条件的δy都必须有δI = 0，这就要求：
这便是传说中的Euler-Lagrange方程，它是变分法的核心定理。有了此等大杀器，原则上就可以找出所寻求的极值函数y(x)。
通常来讲，Euler-Lagrange方程会是一个二阶的微分方程，y(x)的通解中含有的两个待定常数刚好可以通过两个边界条件确定。我们下面来举几个例子操练操练。
例1：两点间的最短路径
先来一个简单的例子小试牛刀。给定平面上两点A和B，连接它们的长度最短的曲线是什么？
这个问题的答案小学生都知道，我们在这里用变分法来杀杀这只小鸡仔。
曲线y(x)上相近的两点(x, y)和(x+dx, y+dy)之间的曲线元长度为：
曲线的总长度为：
现在希望L有最小值，我们可以取F = sqrt(1 + (y')^2)，运用Euler-Lagrange方程来寻找可以让L有极小的函数y(x)。注意到：
代回（6）式中，容易得到：
括号里这一大坨的导数为零，那么括号里这一大坨必然是一个常数，我们马上可以推出y'也必然是一个常数。因此我们需要寻找的y(x)满足直线方程：
斜率k和截距b很容易通过边界点的坐标算出。由此我们证明了大家非常熟悉的结论：两点之间直线段的距离最短。
例2：最速降曲线
问题在开篇的历史故事介绍中已经有提到，我们这里直接进入解答环节。
为方便起见，我们将坐标系的y-轴搞成朝下的方向，斜向下的轨道可以由函数y(x)给出，其中轨道的起点和终点分别设为A和B，我们来试求最速降曲线的函数式。
当物理下滑到x位置时，它的速度大小可以根据能量守恒关系解出：
而根据定义，速度大小等于单位时间内走过的轨道长度：
其中我们已经利用了之前（7）式中得到的结果。
（11）与（12）式联立，可以写出：
积分后就可以得到总时间的表达式：
为了找出让T取得极小的y(x)，我们可以取F = sqrt(1 + (y')^2) / sqrt(2gy)，再套用Euler-Lagrange方程来怒算一波。
丢回（6）式里面，我们可以得到这么一个初步的方程：
看到这种东西，要保持平静，铁了头往下算，要相信好多恶心的东西会神奇地同归于尽。
瞧，柳暗花明又一村。不过这还远没完，解这个二阶微分方程还需要一个骚操作。我们对上式乘上一个y'：
感谢CCAV这玩意儿居然是个全微分，它要等于零，方括号里那一坨等于常数就完儿事了。且让我们将这个常数写作C：
原来的二阶微分方程降次变成了一阶，我们终于可以愉快地分离变量两边积分了：
作三角换元，设θ = arcsin(sqrt(2gy) / C)，则：
其中C1是积分常数。我们再作逆变换变回到y，注意到sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1，于是：
我们可以得到所求的最速降轨道的函数表达式：
轨道起点为A，很容易得出C1，于是结果可以进一步简化：
另一方面，轨道终点为B，上面的常数C还必须满足：
盗图来源：Wikipedia BrachistochroneCurve 词条
可以证明，满足边界条件（21）的最速降曲线（20）将是一条摆线（cycloid）：它是圆周上的一个定点在圆沿直线滚动时所形成的轨迹。
盗图来源：Wikipedia Cycloid 词条
从（20）式很难看出这个结论，但其实满足（17）式的y(x)还可以写成如下的参数方程：
其中r给出了滚动的圆的半径。可以作如下的验算：
这验证了（22）式的参数方程确实是（17）式的解。而参数方程可以更明确地表达出摆线的几何意义（如图）。
例3：悬链线
这个数学问题同样也起源于物理：悬在等高的两点间的受重力作用的软绳形成的曲线应该是什么形状？
这类曲线统称为悬链线（catenary），在工程和设计中有广泛的应用。比如悬索桥、架空电缆等都会出现悬链线的设计，而在很多拱门、教堂拱顶的设计中，还会出现倒悬链线的踪影。
盗图来源：Wikipedia Catenary 词条
盗图来源：Wikipedia Catenary 词条
我们在此考虑一个稍有不同的问题。假设有等高的两个支点，它们的坐标为A和B。软绳搭在这两个支点上，一部分悬在两个支点之间，多出来的部分自由下垂耷拉到地面上（如图所示）。
整个体系会自发去向势能最低的状态，因此我们需要找的便是势能最低状态随对应的y(x)函数。
记软绳单位长度的质量为μ，并取地面高度为重力势能的零点。左右竖着的两段的质量均为μh，重心在h/2的高度，因此它们具有的重力势能为：
至于悬挂在两个支点间的部分，我们可以先写出x和x+dx之间一小段的重力势能：
弯曲悬挂着的部分的总的重力势能就是：
结合（23）与（24）式，整个体系的总势能为：
注意到h为常数，因此可以取F = y' * sqrt(1 + (y')^2)，再套用Euler-Lagrange方程来找出让U取得极小的y(x)。
代回（6）式中，可以先写出：
不要慌，要继续相信硬肝一波还是可以看到柳暗花明：
似乎看起来也还可以接受？接下来依然一步骚操作，两边同乘以y'：
再次神奇地化成了一个全微分，它要等于零，需要圆括号里那一坨等于常数。
这问题又简化成了一个一阶的微分方程。常规操作，分离变量再两边积分：
不难想到用双曲换元，令y' = sinh(θ)，于是dy' = cosh(θ)dθ，y = ∫sinh(θ)dθ = cosh(θ) + C2。（29）式变成：
其中C2为积分常数，它连同常数C1都必须匹配边界条件。
（30）式可以改写成：
，我们可以反解出y(x)的函数式：
在我们的问题中，y(x)显然关于x-轴对称，所以C2 = 0。因此：
支点坐标为B，因此边界条件还要求：
于是悬在两个支点之间的软绳的形态将有（31）式的双曲函数给出，其中的参数C1需满足（32）式的条件。
我们还可以试着讨论一下（32）式在什么情况下有解。令C1 = C，或C = sqrt(C1^2 - 1)，则（32）式可以改写成：
作出图像，左边对应一条过原点、斜率为1的直线，右边对应一条过(0, 1)后斜率快速增长的曲线。
可以想见，如果C太小，方程将没有解。这时，相比支点的高度，支点之间悬着好长一段绳子，两侧荡着的部分提供的拉力根本拽不住中间那一大段的重量。而如果C足够大，方程将有两个解，其中一个会对应稳定平衡，另一个对应非稳定平衡。可以证明较大的C解会给出稳定平衡。
其他好玩的东西
未完待更
参考资料
- Michael Stone & Paul Goldbart, Mathematics for Physics [Chapter 1: Calculus of variations]
- Tom W.B. Kibble & Frank H. Berkshire, Classical Mechanics (5th Edition) [Chapter 3.6 The Calculus of Variations]
- https://en.wikipedia.org/wiki/Cycloid
- https://en.wikipedia.org/wiki/Catenary
- https://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_curve