IEEE754浮点数表示形式详解

IEEE754浮点数表示形式详解

IEEE754浮点数标准是计算机科学领域中非常重要的一项技术标准，几乎所有的现代计算机都采用这一标准来表示浮点数。本文将详细介绍IEEE754浮点数的表示形式及其相关概念。

背景与标准

在20世纪80年代初之前，不同厂商的计算机内部浮点数表示形式可能不同，这给数据传送和程序移植带来了很大的不便。为了解决这一问题，美国电气及电子工程师协会（IEEE）于1985年发布了浮点数标准IEEE754。目前，几乎所有计算机都采用这一标准表示浮点数。

IEEE754标准主要包括两种基本的浮点数格式：

• 32位单精度浮点数：对应C语言中的float型。
• 64位双精度浮点数：对应C语言中的double型。

核心概念

符号位

符号位取值0表示正数，取值1表示负数。

阶码

阶码采用定点整数表示，使用移码形式。在32位单精度浮点数中，阶码为8位，偏置常数为127（即(2^7-1)），而不是标准移码的128。这种设计是为了避免最小规格化数的倒数溢出。

尾数

尾数采用定点小数表示，使用原码形式。在32位单精度浮点数中，尾数实际有24位，但只保存23位，节省的比特位可用于提高尾数的精度。完整的尾数形式为1.M。

32位单精度浮点数示意图

特殊值

• NaN（非数）：用于表示(\frac {0}{0})、(\frac {∞}{∞})、0×∞、负数的平方根等。
• 非规格化数：用于处理阶码下溢，使得出现比最小规格化数还小的数时程序也能继续进行下去。
• 无穷大数：引入无穷大数可使计算过程出现异常的情况下程序能继续执行，并且可为程序提供错误检测功能。

32位与64位浮点数对比

实例分析

例题1

将十进制数408.6875转换成IEEE754单精度浮点数的十六进制机器码。

例题2

若C1830000是某个IEEE754单精度浮点数的十六进制机器码，求其对应的十进制值。

历年考试题

• 2011年题13：float型变量x=-8.25在32位浮点寄存器FR1中的内容是（A）。
• 2013年题13：C640000H表示的数是（A）。
• 2014年题14：(f1)=CC900000H, (f2)=B0C00000H时，x和y之间的关系是（A）。
• 2022年题14：-0.4375的IEEE754单精度浮点数表示为（A）。

表示范围

• 最大正整数：(2^{128}-2^{104})
• 最小的规格化正数：(1.0 \times 2^{-126})

注意事项

对于无限循环小数，通常只能采用舍入的方式近似表示，这会带来数据表示的误差。这种误差会在计算的过程中不断累积放大，可能导致严重后果。因此，在使用二进制浮点数编程时，一定要充分考虑浮点数运算可能带来的计算误差，尽量避免对浮点数进行直接比较，在一些对误差极其敏感的情况下，建议采用十进制浮点数进行运算。

扩展阅读

• 计算机基础知识之原码、补码、反码和移码
• 计算机基础知识之浮点数的表示