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等差数列的定义、性质与应用

创作时间:

作者:

@小白创作中心

等差数列的定义、性质与应用

引用

来源

https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?kid=143

等差数列是一种常见的数列类型，在数学中有着广泛的应用。本文将详细介绍等差数列的定义、通项公式、求和公式以及相关性质，并探讨等差数列与一次函数的关系。

等差数列的定义

如果一个数列，从第二项起，每一项减去它的前面的一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做 等差数列 ，这个常数叫做等差数列的公差，用符号 $d$ 表示。等差数列的通项公式是

[
a_n = a_1 + (n-1)d, \quad (n=1,2,3,\dots)
]

它的前 $n$ 项求和公式是

[
S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}
]

或

[
S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d
]

性质

在一个等差数列中，给定任意两相连项 $a_{n+1}$ 和 $a_n$ ，可知公差

[
d = a_{n+1} - a_n
]

给定任意两项 $a_m$ 和 $a_n$ ，则有公差

[
d = \frac{a_m - a_n}{m-n}
]

此外，在一个等差数列中，选取某一项，该项的前一项与后一项之和，为原来该项的两倍。举例来说

[
a_1 + a_3 = 2a_2
]

更一般的有:

[
a_{n-1} + a_{n+1} = 2a_n
]

证明如下

[
\begin{array}{rl}
a_{n-1} + a_{n+1} & = [a + (n-2)d] + (a + nd) \
& = 2a + (2n-2)d \
& = 2[a + (n-1)d] \
& = 2a_n
\end{array}
]

从另一个角度看，等差数列中的任意一项，是其前一项和后一项的算术平均

[
a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}
]

此结果从上面直接可得。

性质2

如果有正整数 $m,n,p,q$ ，使得 $m+n=p+q$ ，那么则有:

[
a_m + a_n = a_p + a_q
]

证明如下

[
\begin{array}{rl}
a_m + a_n & = [a + (m-1)d] + [a + (n-1)d] \
& = 2a + (m+n-2)d \
& = 2a + (p+q-2)d \
& = [a + (p-1)d] + [a + (q-1)d] \
& = a_p + a_q
\end{array}
]

由此可将上面的性质一般化成

[
\begin{array}{rl}
& a_{n-k} + a_{n+k} = 2a_n \
& a_n = \frac{a_{n-k} + a_{n+k}}{2}
\end{array}
]

其中 $k$ 是一个小于 $n$ 的整数。

等差数列和

一个等差数列的首 $n$ 项之和，称为等差数列和，记做 $S_n$ ，等差数列求和的公式如下：

将等差数列和写作以下两种形式：

[
\begin{array}{rl}
& S_n = a + (a+d) + (a+2d) + \cdots + [a+(n-2)d] + [a+(n-1)d] \quad \text{...①} \
& S_n = [a_n - (n-1)d] + [a_n - (n-2)d] + \cdots + (a_n - 2d) + (a_n - d) + a_n \quad \text{...②}
\end{array}
]

将两公式相加来消掉公差 $d$ ，可得

[
2S_n = n(a + a_n)
]

由此得到等差数列 ({a_n}) 的前 $n$ 项和的公式

[
S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}
]

这个公式表明，等差数列的前 $n$ 项和可由首项，末项和项数唯一确定。

又因为 (a_n = a_1 + (n-1)d) ，所以上述公式又可以写成

[
S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d.
]

等差数列与一次函数

数列可以看成以正整数集 (\mathbb{N}_+)（或它的有限子集 ({1,2,\cdots ,n}) ）为定义域的函数 (a_n=f(n)) ，因而可以利用函数知识来研究数列的性质。我们先看两个具体例子：

求下列等差数列 ({a_n}) 的通项公式，并画出这个数列的图象，判断数列的单调性：

（1）(a_1=1,d=3) ；

（2）(a_1=7,d=-2) ．

不难求得，等差数列 ({a_n}) 的通项公式分别为：

（1）(a_n=3n-2) ；

（2）(a_n=-2n+9) ．

上述通项公式可以看成自变量 (n) 取正整数值的函数，将通项公式中的正整数自变量 (n) 换成实数自变量 (x) ，得到一次函数 (y=3x-2) 和 (y=-2x+9) ，它们的图象都是直线。当 (x) 取正整数值 (n) 时，就得到 (a_n) ，等差数列的图象由直线上横坐标为正整数 (n) 的孤立点 ((n,a_n)) 组成。如图所示。