空间解析几何中的曲面及其方程
空间解析几何中的曲面及其方程
第五节 曲面及其方程
一、曲面研究的基本问题
在空间解析几何中，对曲面的研究主要涉及以下两个基本问题：
已知曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程。例如，已知一个平面的定义，可以建立相应的平面方程。这种问题通常涉及将几何知识转化为数学表达。
已知坐标 $x$、$y$ 和 $z$ 间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面的形状。这涉及识别和描述由方程确定的几何形状。
例1：建立球面方程
考虑球心在点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$、半径为 $R$ 的球面。设 $M(x,y,z)$ 是球面上的任一点，则点 $M$ 到 $M_0$ 的距离等于 $R$。由距离公式得：
$$
\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2} = R
$$
平方后，我们得到球面的方程：
$$
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = R^2
$$
这个方程定义了一个以 $M_0$ 为中心，半径为 $R$ 的球面。
例2：分析方程 $x^2+y^2+z^2-2x+4y=0$ 所表示的曲面
首先通过配方技巧改写原方程：
$$
(x-1)^2+(y+2)^2+z^2 = 5
$$
与标准球面方程 $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$ 比较，可知方程表示球心在 $M_0(1,-2,0)$，半径为 $\sqrt{5}$ 的球面。
二、旋转曲面
旋转曲面是由一条固定平面上的曲线（母线）绕该平面上的一条直线（轴）旋转一周生成的。
定义与方程的建立
设有曲线 $C$ 在 $yOz$ 平面上，方程为 $f(y,z)=0$。若将 $C$ 绕 $z$ 轴旋转，可生成一个旋转曲面。设 $M_1(0,y_1,z)$ 为曲线 $C$ 上的一点，满足 $f(y_1,z)=0$。
当 $M_1$ 绕 $z$ 轴旋转时，$z$ 坐标保持不变，点 $M_1$ 的新位置 $M(x,y,z)$ 满足 $y^2+x^2=y_1^2$。因此，代入 $y_1=\pm\sqrt{x^2+y^2}$ 到 $f$ 中，得到旋转曲面的方程：
$$
f(\pm\sqrt{x^2+y^2},z) = 0
$$
曲线绕其他轴的旋转
如果曲线 $C$ 绕 $y$ 轴旋转，类似的方法可以得到旋转曲面的方程为：
$$
f(y,\pm\sqrt{x^2+z^2}) = 0
$$
通过这种方式，我们可以探讨各种旋转曲面的性质，从而更全面地理解它们在空间中的行为和结构。
例3：建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为$\alpha$的圆锥面方程
考虑在 $yOz$ 坐标面上，直线 $L$ 的方程为 $z=y\cot\alpha$。这是因为直线 $L$ 与 $z$ 轴的夹角为 $\alpha$，且 $\cot\alpha$ 是该夹角的余切，表示 $z$ 坐标与 $y$ 坐标的比率。
当直线 $L$ 绕 $z$ 轴旋转一周时，生成的曲面是一个圆锥面。因为旋转过程中，任一点 $M(x,y,z)$ 在 $z$ 轴的投影保持不变，而 $M$ 到 $z$ 轴的距离 $d=\sqrt{x^2+y^2}$ 是常数。因此，将方程 $z=y\cot\alpha$ 中的 $y$ 替换为 $\sqrt{x^2+y^2}$，得到：
$$
z=\sqrt{x^2+y^2}\cot\alpha
$$
整理上述方程，得到圆锥面的标准方程：
$$
z=\sqrt{x^2+y^2}\cot\alpha \quad \text{或} \quad z^2=(x^2+y^2)\cot^2\alpha
$$
这表明，圆锥面上任一点 $M$ 的坐标满足此方程。如果点 $M$ 不在圆锥面上，则直线 $OM$ 与 $z$ 轴的夹角不等于 $\alpha$，从而 $M$ 的坐标不满足上述方程。
例4：将 $xOz$ 坐标面上的双曲线绕 $z$ 轴和 $x$ 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程
- 绕 $z$ 轴旋转：
给定双曲线 $y^2-x^2=1$。当它绕 $z$ 轴旋转时，生成的是一个旋转单叶双曲面。这是因为旋转过程中，任何点 $(x,y,z)$ 到 $z$ 轴的水平距离 $d=\sqrt{x^2+y^2}$ 替换 $y$ 的值，得到：
$$
x^2+y^2-z^2=1
$$
这是旋转单叶双曲面的标准方程。
- 绕 $x$ 轴旋转：
同样的双曲线 $y^2-z^2=1$ 绕 $x$ 轴旋转生成的是旋转双叶双曲面。此时，任何点 $(x,y,z)$ 到 $x$ 轴的垂直距离 $d=\sqrt{y^2+z^2}$ 替换 $y$ 的值，得到：
$$
y^2+z^2-x^2=1
$$
这是旋转双叶双曲面的标准方程。
这两种旋转曲面是三维空间中非常重要的几何形状，它们不仅在数学领域，也在物理和工程学中有广泛的应用。
四、二次曲面
二次曲面是通过三元二次方程 $F(x,y,z)=0$ 定义的空间曲面，类似于平面解析几何中的二次曲线。它们由于方程中包含 $x,y,z$ 的二次项以及可能的交叉乘积项，表现出丰富的几何形状。以下是九种基本二次曲面的讨论：
(1) 椭圆锥面
椭圆锥面的方程可以由椭圆旋转得出。若以垂直于 $z$ 轴的平面 $z=t$ 截此曲面，截面为椭圆，随 $t$ 的变化，椭圆逐渐收缩至顶点（0,0,0）。椭圆锥面的标准方程为：
$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2
$$
(2) 椭球面
椭球面是空间中一个封闭的曲面，形似拉伸或压缩的球。它可以由旋转椭圆通过沿 $y$ 轴伸缩得到。椭球面的标准方程为：
$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1
$$
当 $a=b=c$ 时，椭球面退化为球面。
(3) 单叶双曲面
单叶双曲面可以通过旋转双曲线 $y^2-z^2=a^2$ 绕 $z$ 轴得到，并可通过沿 $y$ 轴的伸缩变形得到最终形状。单叶双曲面的标准方程为：
$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1
$$
(4) 双叶双曲面
双叶双曲面由 $y^2-z^2=-a^2$ 绕 $x$ 轴旋转生成，具有两个分开的部分。双叶双曲面的标准方程为：
$$
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1
$$
(5) 椭圆抛物面
椭圆抛物面由平面上的抛物线 $y^2=2px$ 绕 $z$ 轴旋转生成。椭圆抛物面的标准方程为：
$$
x^2+y^2=2pz
$$
(6) 双曲抛物面（马鞍面）
双曲抛物面，也称为马鞍面，通常由截痕法来分析。例如，平面 $x=t$ 截双曲抛物面可能得到一系列抛物线，其顶点在 $y=0$ 平面上形成另一抛物线。双曲抛物面的标准方程为：
$$
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z
$$
柱面
由二次曲线的直线平行移动形成，包括椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面等。柱面方程通常不涉及 $z$ 坐标，例如 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（椭圆柱面），$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（双曲柱面），$y^2=4px$（抛物柱面）。
二次曲面的形状和性质极大地丰富了三维空间中的几何结构，它们在物理、工程和其他科学领域中有广泛的应用，例如在光学和力学系统的设计中。