高等数学：函数图像的描绘方法与实例解析

高等数学：函数图像的描绘方法与实例解析

利用导数描绘函数图形的一般步骤如下：

（1）确定函数 $y=f\left(x\right)$ 的定义域及函数所具有的某些特性（如奇偶性、周期性等），并求出函数的一阶导数 ${f}^{{}^{\prime }}\left(x\right)$ 和二阶导数 ${f}^{{}^{″}}\left(x\right)$ ；

（2）求出一阶导数 ${f}^{{}^{\prime }}\left(x\right)$ 和二阶导数 ${f}^{{}^{″}}\left(x\right)$ 在函数定义域内的全部零点，并求出函数 $f\left(x\right)$ 的间断点及 ${f}^{{}^{\prime }}\left(x\right)$ 和 ${f}^{{}^{″}}\left(x\right)$ 不存在的点，用这些点把函数的定义域划分成几个部分区间；

（3）确定这些部分区间内 ${f}^{{}^{\prime }}\left(x\right)$ 和 ${f}^{{}^{″}}\left(x\right)$ 的符号，并由此确定函数图形的升降、凹凸和拐点；

（4）确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势；

（5）算出 ${f}^{{}^{\prime }}\left(x\right)$ 和 ${f}^{{}^{″}}\left(x\right)$ 的零点以及不存在的点所对应的函数值，定出图形上相应的点；为了把图形描绘的更准确些，有时还需补充一些点，然后结合第（3）、（4）步中得到的结果，连接这些点画出函数 $y=f\left(x\right)$ 的图形。

例：描绘函数 $y=1+\frac{36x}{\left(x+3{\right)}^{2}}$ 的图形。

（1）所给函数 $y=f\left(x\right)$ 的定义域为 $\left(-\mathrm{\infty },-3\right)\cup \left(-3,\mathrm{\infty }\right)$ .

${f}^{{}^{\prime }}\left(x\right)=\frac{36\left(3-x\right)}{\left(x+3{\right)}^{3}},\phantom{\rule{1em}{0ex}}{f}^{{}^{″}}\left(x\right)=\frac{72\left(x-6\right)}{\left(x+3{\right)}^{4}}.$

（2）${f}^{{}^{\prime }}\left(x\right)$ 的零点为 $x=3$ ; ${f}^{{}^{″}}\left(x\right)$ 的零点为 $x=6$ ；$x=-3$ 是函数的间断点。点 $x=-3$ ，$x=3$ ，$x=6$ 把定义域划分为四个部分区间：

$\left(-\mathrm{\infty },-3\right),\phantom{\rule{1em}{0ex}}\left(-3,3\right],\phantom{\rule{1em}{0ex}}\left[3,6\right],\phantom{\rule{1em}{0ex}}\left[6,+\mathrm{\infty }\right).$

（4）由于 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=1$ ，$\underset{x\to -3}{lim}f\left(x\right)=-\mathrm{\infty }$ ，所以图形有一条水平渐近线 $y=1$ 和一条铅直渐近线 $x=-3$ .

（5）计算出 $x=3$ ，$x=6$ 处的函数值：

$f\left(3\right)=4,\phantom{\rule{1em}{0ex}}f\left(6\right)=\frac{11}{3},$

从而得到图形上的两个点

${M}_{1}\left(3,4\right),\phantom{\rule{1em}{0ex}}{M}_{2}\left(6,\frac{11}{3}\right).$

又由于

$f\left(0\right)=1,f\left(-1\right)=-8,f\left(-9\right)=-8,f\left(-15\right)=-\frac{11}{4},$

得图形上的四个点

${M}_{3}\left(0,1\right),{M}_{4}\left(-1,-8\right),{M}_{5}\left(-9,-8\right),{M}_{6}\left(-15,-\frac{11}{4}\right).$

结合（3）、（4）中得到的结果，画出函数 $y=1+\frac{36x}{\left(x+3{\right)}^{2}}$ 的图形如下：