小波分解原理与MATLAB实现

小波分解原理与MATLAB实现

小波分解是一种重要的信号处理技术，广泛应用于图像处理、数据压缩等领域。本文将详细介绍小波分解的基本原理，并通过haar小波的具体实例，展示如何使用MATLAB实现图像的小波分解。

小波变换使用一系列的不同尺度的小波去分解原函数，变换后得到的是原函数在不同尺度小波下的系数。不同的小波通过平移与尺度变换分解，平移是为了得到原函数的时间特性，尺度变换是为了得到原函数的频率特性。

小波变换步骤：

1. 把小波w(t)和原函数f(t)的开始部分进行比较，计算系数C。系数C表示该部分函数与小波的相似程度。
2. 把小波向右移k单位，得到小波w(t-k)，重复1。重复该部知道函数f结束.
3. 扩展小波w(t)，得到小波w(t/2)，重复步骤1,2.
4. 不断扩展小波，重复1,2,3.

这里使用的是haar小波，缩放函数是[1 1]，小波函数是[1 -1]。是最简单的小波了。

先看看分解的效果，这次我选用了大图：

尺度为2的全分解小波包：

下面是具体的MATLAB实现代码：

% main.m
clc;
clear all;
img = double(imread('lena.bmp'));
[m, n] = size(img);
% 确保图像尺寸是2的整数次幂
if mod(m,2) ~= 0 || mod(n,2) ~= 0
    img = img(1:floor(m/2)*2, 1:floor(n/2)*2);
    [m, n] = size(img);
end
% 一级分解
[LL1, LH1, HL1, HH1] = haar_dwt2D(img);
% 二级分解
[LL2, LH2, HL2, HH2] = haar_dwt2D(LL1);
% 三级分解
[LL3, LH3, HL3, HH3] = haar_dwt2D(LL2);
% 创建图形窗口
figure('Position', [100 100 1200 900]);
% 第一级分解结果
subplot(3,4,1), imshow(LL1), title('First Level - LL');
subplot(3,4,2), imshow(LH1), title('First Level - LH');
subplot(3,4,3), imshow(HL1), title('First Level - HL');
subplot(3,4,4), imshow(HH1), title('First Level - HH');
% 第二级分解结果
subplot(3,4,5), imshow(LL2), title('Second Level - LL');
subplot(3,4,6), imshow(LH2), title('Second Level - LH');
subplot(3,4,7), imshow(HL2), title('Second Level - HL');
subplot(3,4,8), imshow(HH2), title('Second Level - HH');
% 第三级分解结果
subplot(3,4,9), imshow(LL3), title('Third Level - LL');
subplot(3,4,10), imshow(LH3), title('Third Level - LH');
subplot(3,4,11), imshow(HL3), title('Third Level - HL');
subplot(3,4,12), imshow(HH3), title('Third Level - HH');
% 调整子图之间的间距
set(gcf, 'Units', 'Normalized', 'OuterPosition', [0 0 1 1]);
sgtitle('Haar Wavelet Decomposition Results');

% haar_dwt2D.m
function [LL, LH, HL, HH] = haar_dwt2D(img)
[m, n] = size(img);
temp = img; % 创建临时变量存储中间结果
% 行变换
for i = 1:m
    [L, H] = haar_dwt(temp(i,:));
    if length([L H]) == n % 确保长度匹配
        temp(i,:) = [L H];
    end
end
% 列变换
for j = 1:n
    [L, H] = haar_dwt(temp(:,j)');
    if length([L H]) == m % 确保长度匹配
        temp(:,j) = [L H]';
    end
end
% 分割子带
m2 = floor(m/2);
n2 = floor(n/2);
LL = mat2gray(temp(1:m2, 1:n2));
LH = mat2gray(temp(1:m2, n2+1:n));
HL = mat2gray(temp(m2+1:m, 1:n2));
HH = mat2gray(temp(m2+1:m, n2+1:n));
end

% haar_dwt.m
function [L, H] = haar_dwt(f)
n = floor(length(f)/2);
L = zeros(1, n);
H = zeros(1, n);
for i = 1:n
    L(i) = (f(2*i-1) + f(2*i))/sqrt(2);
    H(i) = (f(2*i-1) - f(2*i))/sqrt(2);
end
end

参考：https://www.cnblogs.com/tiandsp/archive/2013/04/12/3016989.html