初中数学经典几何问题：相似模型（上）

初中数学经典几何问题：相似模型（上）

初中数学中的相似模型是几何学中的一个重要概念，它不仅帮助学生理解图形之间的关系，还能培养逻辑思维能力。本文将详细介绍两种经典的相似模型：A、8模型和共边共角型模型，并通过具体例子和思考题来加深理解。

模型1：A、8模型

基本结论

已知：∠1=∠2
结论：△ADE∽△ABC。

分析

在相似三角形的判定中，我们经常通过作平行线，从而得出A型或8型相似。在做题时，需要注意由平行线所产生的相似三角形。

例子

如图，在△ABC中，中线AF、BD、CE相交于点O。求证：

证明：

方法一：
联结DE, ∵D、E是中点，
∴DE∥BC， DE/BC=1/2。
∴△EOD∽△BOC(8字模型)。
∴OE/OC=OD/OB=1/2。
同理，
∴OE/OC=OD/OB=OF/OA=1/2。

方法二：

过点F作FG∥AC交BD于G。
∵F是中点，
∴GF/CD=1/2, GF∥AD。
∵AD=DC, ∴GF/AD=1/2,
∵GF∥AD,
∴△GOF∽△AOD(8字模型)。
∴ GF/AD=OF/OA=1/2。
同理，
∴OE/OC=OD/OB=OF/OA=1/2。

思考

如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，连接AO并延长，交BC于点F。

求证：点F是BC的中点。
提示：联结DE交AF于G

分别考虑
△AEG∽△ABF,
△ADG∽△ACF,
△EOG∽△COF,
△DOG∽△BOF。

思考

在△ABC中，AD是角平分线，

求证：AB/AC=BD/DC。
提示：
作BG∥AC, 交AD延长线与G，
∴△ADC∽△GDB(8字模型)。
易证△ABG是等腰三角形。

模型2：共边共角型

基本结论

已知：∠1=∠2
结论：△ACD∽△ABC。

分析

要熟记模型的结论，模型中由△ACD∽△ABC，可得AC·AC=AD·AB。

思考

如图，在Rt△ABC中，∠BAC-90°，AD⊥BC于D。
求证：
(1)AD·AD=BD·DC。
(2)AC·AC=DC·BC。
提示：△ADB∽△CDA,
△CAB∽△CDA。

思考

已知△AMN是等边三角形，∠BAC=120°。
求证：
(1)AB·AB=BM·BC。
(2)△AMB∽△ANC。
(3)MN·MN=BM·NC。
提示：∠BAM=∠C。