库仑定律：描述电荷间相互作用的基本定律

库仑定律：描述电荷间相互作用的基本定律

库仑定律是描述真空中两个静止点电荷之间相互作用力的基本定律。通过一个简单的实验装置，我们可以直观地验证库仑定律，并理解其与万有引力的相似之处。然而，库仑定律也存在一定的局限性，特别是在处理运动粒子和高能碰撞时。

在1785年，法国科学家库仑通过扭秤实验发现了库仑定律。然而，早在几十年前，卡文迪许就已经通过同心球电荷分布实验得到了更精确的结果，这些手稿直到1871年才被麦克斯韦发现。

在这里，我们介绍一个简单的实验来检验库仑定律。实验装置由一个固定不动的带电钢球$M$和一个被细线悬挂的小带电钢球$A$组成。当小钢球$A$与另一个相同材质、大小和形状的小钢球$B$接触，使得$B$平分了$A$球上的电荷时，$A$球偏离垂直位置的距离大约变为原来的$1/2$。这表明两电荷间的静电力与它们分别所携带的电荷量成正比。当改变钢球$A$悬挂的位置，使其与$M$的距离变为原来的$2$倍、$3$倍、$4$倍……时，$A$球偏离垂直位置的距离依次变为原来的$1/4$倍、$1/9$倍、$1/16$倍。这启发我们得到静电相互作用的平方反比律，即两电荷间的静电力与距离的平方成反比。

图 1：检验库仑定律的简易装置

库仑定律

真空中两个静止的点电荷间的相互作用被库仑定律所描述。点电荷是在质点的基础上（忽略物体的大小与形状），增加了一个总电荷量的属性。这样以后我们的质点往往携带这些物理量"$\boldsymbol{\mathbf{r}}=(x,y,z),m,q$"分别代表它的坐标、质量、电荷量。这些量可能在运动以及相互作用的过程中发生变化，但我们通常假定它的静止质量、它携带的电荷是该质点所不变的属性。库仑定律描述了真空中两个静止点电荷间的相互作用力，它的本质不同于引力，却有与引力几乎相同的数学表达形式：它与两个点电荷的电荷量成正比，且与两点电荷的距离的平方成反比。与万有引力类似，两个点电荷间的库仑力的矢量表达式为

\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}}{12} = k\frac{q_1 q_2}{r{12}^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}}_{12} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}}_2 - \boldsymbol{\mathbf{r}}_1 \right\rvert ^3}( \boldsymbol{\mathbf{r}}_2 - \boldsymbol{\mathbf{r}}_1)~.
\end{equation}

其中$\boldsymbol{\mathbf{F}}{1,2}$表示点电荷$2$所受到的力的大小，$\hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}}{12}$表示从$1$指向$2$的单位矢量。$q_1, q_2$分别是两个点电荷的电荷量。注意比起万有引力，式中没有负号，$q_1, q_2$可以是负数（代表负电荷）。当它们同号时$\boldsymbol{\mathbf{F}}{12}$是由$1$指向$2$的矢量，而当它们异号时$\boldsymbol{\mathbf{F}}{12}$则是从$2$指向$1$的矢量。我们容易看出两电荷同号相斥，异号相吸。

$k$是库仑常数，可以在实验中测量；我们也常常将这个符号替换为

\begin{equation}
k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 8.9876 \times 10^{9} ,\mathrm{N m^2/C^2} ~.
\end{equation}

$\epsilon_0=8.854\cdot 10^{-12} ,\mathrm{C^2/Nm^2} $是真空中的电介质常数（vacuum permittivity），这将在我们之后的学习过程中经常出现；而上式中$4\pi$的出现将使得我们将用到的“高斯定律”具有更加简洁的形式。这里我们采取的是SI单位制（国际单位制），而描述电磁相互作用力实际上还有许多其他单位制，在不同的场合中经常被使用。

习题 1 比较两电荷间的库仑力与引力

真空中两个距离$1 \rm m$的静止电子，它们分别带有$-1.6\times 10^{19} ,\mathrm{C} $的电荷，且质量分别为$9.1\times 10^{-31} ,\mathrm{kg} $。利用上述公式计算它们之间的引力和库仑力的大小，并作比较。

我们将发现，两电子间的库仑力要远远大于它们之间的引力。

局限性

库仑定律实际上存在着许多缺陷。例如点电荷这一理想经典模型往往无法真正地去刻画真实世界。它或许能近似地描述质子、电子或其他带电粒子，但也仅限于两粒子间隔较大的情况，否则这些粒子的内部结构将对粒子间作用力造成影响。现代物理表明，电子是有内禀自旋的，并且是自然界的基本粒子。而质子、中子的结构则要复杂的多，人们认为它们由夸克组成，而这些夸克又是无法被单独分离出来的。这些就远远地超出了我们目前所讨论的知识范畴。但是可以预见，粒子的复杂内部结构将导致带电粒子间相互作用比预想的更加复杂，我们通过库仑定律得到的结果仅仅是非相对论极限下的一个近似。当两粒子以足够高的能量、足够高的速度对撞时，它们之间的距离就能够足够的小，以至于粒子不再能够视为点电荷，经典模型也就不再适用了，而正是通过这样的高能碰撞实验，人们才发现了许多新的物理现象，总结出新的物理规律。

库仑定律的另一缺陷则是，它只能够描述两个静止的粒子间的静电相互作用。对于两个运动的带电粒子，它们之间的库仑相互作用如何，我们目前是不清楚的。在今后的学习中，我们将认识到一些重要的事实：真空中如果有一个静止点电荷$Q$和一个运动的带电荷$q$的测试粒子，那么测试粒子$q$所受到的电磁力仍然可以由库仑定律给出。然而，如果点电荷$Q$也在运动，则测试粒子$q$还会受到磁场的影响。其更内在的物理原理是：在由$Q$的静止参考系到运动参考系的洛伦兹变换下，电场和磁场会相伴出现。也就是说，电与磁是统一的。