抛物线的定义、标准方程及其几何性质

抛物线的定义、标准方程及其几何性质

抛物线的定义

如图, 将一直尺固定在直线 $l$ 上, 取一个直角三角板, 以它的一条直角边靠紧直尺的一边 $l$. 在另一条直角边上取定点 $\mathrm{\Lambda }$, 设三角板的直角顶点为 $C$. 再取一条长度正好等于 $AC$ 的细线，将这条细线的一端固定在三角板上的点 $A$ 处，另一端用大头针固定在点 $F$ 处. 用铅笔将细线绷紧, 使铅笔尖贴在三角板的边 $AC$ 之上.让三角板沿着直尺滑动, 则铅笔尖所在的点 $P$ 就画出所要作的轨迹的一段.

观察画出的轨迹的形状, 发现它与二次函数的图象一一这个轨迹就是抛物线。

抛物线的定义

我们把平面内与一个定点 $F$ 和一条定直线 $l\left(Fotin l\right)$ 距离相等的点的轨迹叫作 抛物线 ，点 $F$ 叫作抛物线的 焦点 ，直线 $l$ 叫作抛物线的 准线 ．

后面将证明，对于任意 $p>0$ ，焦点为 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$ ，准线方程为 $x=-\frac{p}{2}$的抛物线方程为

$\overline{){y}^{2}=2px}$

这称为 抛物线的标准方程 ．

抛物线的标准方程和形状

平面内与一定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点叫做抛物线的 焦点 ，定直线叫做抛物线的 准线 ．

下面，我们根据抛物线的定义来建立抛物线的方程．

设焦点为$F$, 准线为$\ell$ (图6.10)，过$F$点作$\ell$的垂线与$\ell$相交于$D$点，取射线$DF$的方向作为$X$轴的正方向，以$\stackrel{―}{DF}$的垂直平分线为$Y$轴，设$F$到$\ell$的距离为$p$, 即$\stackrel{―}{DF}=p$, 则 $F\left(\frac{p}{2},0\right),\phantom{\rule{2em}{0ex}}D\left(-\frac{p}{2},0\right)$

准线$\ell$的方程为

$x=-\frac{p}{2}$

设$P\left(x,y\right)$是抛物线上任一点，它到焦点$F$的距离等

于它到$\ell$的距离．即

$\sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)}^{2}+{y}^{2}}=|x+\frac{p}{2}|$

将上式两边平方，并化简得

${y}^{2}=2px\phantom{\rule{2em}{0ex}}\left(p>0\right)...\left(6.9\right)$

这就是 抛物线的标准方程 ．它表示的抛物线的焦点$F$在$X$轴的正半轴上且坐标是$\left(\frac{p}{2},0\right)$, 准线方程是$x=-\frac{p}{2}$．

如果抛物线的焦点和准线分别取不同位置会得到不同的形状，概况如下：

用抛物线的方程来研究抛物线的形状

下面，我们根据拋物线的标准方程

${y}^{2}=2px\left(p>0\right)...\left(8\right)$

来研究它的一些几何性质．

抛物线的对称性

首先，在抛物线方程(8)中，含有$y$的平方，故把$-y$代替$y$对方程没有影响，这表明曲线是以$x$轴为 对称轴的轴对称形 ．我们把这条轴叫做 抛物线的轴 ．轴和抛物线的交点叫做 抛物线的顶点 ．

抛物线的范围

其次，由方程(8)可知$x\ge 0$, 当$x$增大时，$y$的绝对值也跟着增大，因此抛物线在$Y$轴的右方，向上、向下无限伸展

抛物线的极限

设$P\left(x,y\right)$是抛物线上任一点，直线$OP$的倾角为$\alpha$, 则

$\mathrm{tan}\alpha =\frac{y}{x}=\frac{{y}^{2}}{xy}=\frac{2px}{xy}=\frac{2p}{y}$

其中$p$是常数，当$y$无限增大时，$\frac{2p}{y}$无限接近于零，这说明，抛物线上动点$P\left(x,y\right)$无限远离原点时，$P\left(x,y\right)$点到$X$轴的距离无限增大，而$\stackrel{\to }{OP}$的方向与$X$轴正向之间的方向差却趋于零， 这是抛物线与双曲线的重要区别之一 ．

抛物线的离心率

根据定义抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离之比，叫作抛物线的离心率，而在抛物线里，这个比值是定值1，用 $e$表示离心率．可知抛物线的离心率 $e=1$ 。

抛物线的顶点

抛物线和它的对称轴的交点称为抛物线的顶点．在方程（8）中，当 $y=0$ 时，$x=0$ ，因此，抛物线（8）的顶点为坐标原点 $\left(0,0\right)$ ．

例题

例1已知抛物线的焦点$F\left(2,0\right)$, 求它的标准方程

解：因为焦点$F\left(2,0\right)$在$X$轴上，

$\frac{p}{2}=2$, $p=4$,

所以抛物线标准方程是

${y}^{2}=8x$

例2已知抛物线的标准方程是${y}^{2}=-4x$, 求它的焦点坐标和准线方程．

因为$p=-2$, 所以焦点的坐标是$\left(-1,0\right)$,

准线方程是$x=1$.