LeetCode 236. 二叉树的最近公共祖先
LeetCode 236. 二叉树的最近公共祖先
本文将详细讲解LeetCode第236题“二叉树的最近公共祖先”的解题思路和代码实现。通过递归方法，逐步解析如何找到二叉树中两个指定节点的最近公共祖先。
LeetCode 236. 二叉树的最近公共祖先
1、题目
题目链接：236. 二叉树的最近公共祖先
给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。
百度百科中最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个节点 p、q，最近公共祖先表示为一个节点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。”
示例 1：
输入：root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 1
输出：3
解释：节点 5 和节点 1 的最近公共祖先是节点 3 。
示例 2：
输入：root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 4
输出：5
解释：节点 5 和节点 4 的最近公共祖先是节点 5 。因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。
示例 3：
输入：root = [1,2], p = 1, q = 2
输出：1
提示：
- 树中节点数目在范围 [2, 105] 内。
- -109 <= Node.val <= 109
- 所有 Node.val 互不相同 。
- p != q
- p 和 q 均存在于给定的二叉树中。
2、递归
思路
遇到这个题目首先想的是要是能自底向上查找就好了，这样就可以找到公共祖先了。
那么二叉树如何可以自底向上查找呢？
我们可以使用回溯，二叉树回溯的过程就是自底向上。
后序遍历（左右中）就是天然的回溯过程，可以根据左右子树的返回值，来处理中节点的逻辑。
接下来就看如何判断一个节点是节点q和节点p的公共祖先呢。
首先最容易想到的一个情况：如果找到一个节点，发现左子树出现结点p，右子树出现节点q，或者左子树出现结点q，右子树出现节点p，那么该节点就是节点p和q的最近公共祖先。即情况一：
判断逻辑是如果递归遍历遇到 q，就将 q 返回，遇到 p 就将 p 返回，那么如果左右子树的返回值都不为空，说明此时的中节点，一定是 q 和 p 的最近祖先。
那么会不会出现左子树遇到 q 返回，右子树也遇到 q 返回，这样并没有找到 q 和 p 的最近祖先的情况呢？
题目中强调：二叉树节点数值是不重复的，而且一定存在 q 和 p。
但是很多人容易忽略一个情况，就是节点本身p(q)，它拥有一个子孙节点q§。情况二：
其实情况一 和 情况二 代码实现过程都是一样的，也可以说，实现情况一的逻辑，顺便包含了情况二。
因为遇到 q 或者 p 就返回，这样也包含了 q 或者 p 本身就是 公共祖先的情况。
这道题我们可以使用递归的方法。
递归三部曲：
- 确定递归函数返回值以及参数
需要递归函数返回值，来告诉我们是否找到节点 q 或者 p，那么返回值为 bool 类型就可以了。
但我们还要返回最近公共节点，可以利用上题目中返回值是TreeNode * ，那么如果遇到 p 或者 q，就把 q 或者 p 返回，返回值不为空，就说明找到了 q 或者 p。
代码如下：
TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q)
- 确定终止条件
遇到空的话，因为树都是空了，所以返回空。
那么我们来说一说，如果 root == q，或者 root == p，说明找到 q p ，则将其返回，这个返回值，后面在中节点的处理过程中会用到，那么中节点的处理逻辑，下面讲解。
代码如下：
if (root == q || root == p || root == nullptr) return root;
- 确定单层递归逻辑
值得注意的是本题函数有返回值，是因为回溯的过程需要递归函数的返回值做判断，但本题我们依然要遍历树的所有节点。
那么递归函数什么时候需要返回值，什么时候不需要返回值呢？
递归函数有返回值就是要遍历某一条边，但有返回值也要看如何处理返回值！
如果递归函数有返回值，如何区分要搜索一条边，还是搜索整个树呢？
搜索一条边的写法：
if (递归函数(root->left)) return ;
if (递归函数(root->right)) return ;
搜索整个树写法：
left = 递归函数(root->left); // 左
right = 递归函数(root->right); // 右
left与right的逻辑处理; // 中
在递归函数有返回值的情况下：如果要搜索一条边，递归函数返回值不为空的时候，立刻返回，如果搜索整个树，直接用一个变量left、right接住返回值，这个left、right后序还有逻辑处理的需要，也就是后序遍历中处理中间节点的逻辑（也是回溯）。
那么为什么要遍历整棵树呢？直观上来看，找到最近公共祖先，直接一路返回就可以了。
如图：
就像图中一样直接返回7。
但事实上还要遍历根节点右子树（即使此时已经找到了目标节点了），也就是图中的节点4、15、20。
因为在如下代码的后序遍历中，如果想利用left和right做逻辑处理， 不能立刻返回，而是要等left与right逻辑处理完之后才能返回。
left = 递归函数(root->left); // 左
right = 递归函数(root->right); // 右
left与right的逻辑处理; // 中
所以此时大家要知道我们要遍历整棵树。知道这一点，对本题就有一定深度的理解了。
那么先用left和right接住左子树和右子树的返回值，代码如下：
TreeNode* left = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
TreeNode* right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
如果 left 和 right 都不为空，说明此时 root 就是最近公共节点。这个比较好理解
如果 left为空，right 不为空，就返回 right，说明目标节点是通过right返回的，反之依然。
这里为什么left为空，right不为空，目标节点通过right返回呢？
如图：
图中节点10的左子树返回null，右子树返回目标值7，那么此时节点10的处理逻辑就是把右子树的返回值（最近公共祖先7）返回上去！
这里也很重要，可能刷过这道题目的同学，都不清楚结果究竟是如何从底层一层一层传到头结点的。
那么如果 left 和 right 都为空，则返回 left 或者 right 都是可以的，也就是返回空。
代码如下：
if (left == nullptr && right != nullptr) return right;
else if (left != nullptr && right == nullptr) return left;
else { // (left == nullptr && right == nullptr)
return nullptr;
}
那么寻找最小公共祖先，完整流程图如下：
从图中，大家可以看到，我们是如何回溯遍历整棵二叉树，将结果返回给头结点的！
代码
class Solution {
public:
TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
// 如果根节点为空，或者根节点就是p或q，则直接返回根节点
if (root == nullptr || root == p || root == q) {
return root;
}
// 递归在左子树中查找最低公共祖先
TreeNode* left = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
// 递归在右子树中查找最低公共祖先
TreeNode* right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
// 如果左右子树都找到了最低公共祖先，说明最低公共祖先就是当前根节点
if (left != nullptr && right != nullptr) {
return root;
}
// 如果左子树没有找到，而右子树找到了，说明最低公共祖先在右子树中
if (left == nullptr && right != nullptr) {
return right;
// 如果左子树找到了，而右子树没有找到，说明最低公共祖先在左子树中
} else if (left != nullptr && right == nullptr) {
return left;
} else {
// 如果左右子树都没有找到，说明p和q不在同一棵子树中，返回空指针
return nullptr;
}
}
};
复杂度分析
时间复杂度: O(n)
空间复杂度: O(n)
3、递归（精简版）
代码
class Solution {
public:
TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
// 如果根节点为空，或者根节点等于p或q，则返回根节点
if (root == nullptr || root == p || root == q) {
return root;
}
// 递归在左子树中查找最低公共祖先
TreeNode* left = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
// 递归在右子树中查找最低公共祖先
TreeNode* right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
// 如果左右子树都找到了最低公共祖先，则根节点即为最低公共祖先
if (left != nullptr && right != nullptr) {
return root;
}
// 如果左子树没有找到最低公共祖先，则最低公共祖先在右子树中
if (left == nullptr) {
return right;
}
// 如果右子树没有找到最低公共祖先，则最低公共祖先在左子树中
return left;
}
};