傅里叶对偶性：时域采样与频域周期性的关系

傅里叶对偶性：时域采样与频域周期性的关系

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/qq_51011530/article/details/142579382

傅里叶变换是信号处理领域中的一个核心概念，它揭示了时域和频域之间的深刻联系。本文将详细探讨傅里叶变换中的对偶性原理，即时域采样导致频域周期性，频域采样导致时域周期性。通过理论分析和实例演示，帮助读者深入理解这一重要概念。

时域采样与频域周期性

首先，我们从时域采样的影响开始讨论。当一个连续信号在时域中被采样时，其频谱在频域中会呈现出周期性重复的特性。这种周期性与采样间隔密切相关。

• 采样间隔：记作$\Delta t$，表示时域中相邻两个采样点之间的时间间隔。
• 采样频率：记作$f_s$，表示每秒内的采样次数，其计算公式为$f_s = \frac{1}{\Delta t}$。显然，采样频率是采样间隔的倒数，采样频率越高，采样点之间的时间间隔就越小。
• 角频率表示：如果用弧度表示采样频率，可以写作$\omega_s = \frac{2\pi}{\Delta t}$，其中$\omega_s$是采样频率的角频率形式。

频域采样与时域周期性

傅里叶变换的对偶性原理告诉我们，如果对信号的频域进行采样，那么时域信号将表现出周期性。这种对称性质是时域和频域之间关系的重要体现。

具体来说：

• 当时域信号被采样时，频域中会出现周期性重复，周期由采样间隔$\Delta t$决定。
• 当频域信号被采样时，时域中会出现周期性重复，周期由频域采样间隔$\Delta \omega$决定。

时域周期性的推导

当我们在频域中对信号进行采样时，时域信号会表现出周期性。这个周期$T$是时域信号的重复周期，它与频域采样间隔$\Delta \omega$有直接关系。

• 频域采样间隔：记作$\Delta \omega$，表示频域上两个频率点之间的间隔，其计算公式为$\Delta \omega = 2\pi \Delta f$，其中$\Delta f$是频率间隔。
• 时域周期：时域中的周期$T$与频域采样间隔成反比。具体来说，如果我们在频域中采样，时域中的周期$T$可以通过以下公式表示：$T = N \Delta t$，这里$N$是时域中采样点的总数，$\Delta t$是时域中每个采样点之间的间隔。因此，时域的周期$T$等于采样点的数量$N$乘以每个采样点的间隔$\Delta t$。

时域中的周期性样本数量

这意味着，如果我们对频域信号进行采样，当我们对采样频谱进行逆傅里叶变换时，时域中的信号会变成周期性的。这个周期是$N$个样本，代表了时域信号的重复长度。换句话说，频域的采样会在时域中引入周期性，且这个周期与时域中的采样点数量有关。当你对离散的频域信号进行逆变换时，时域信号会每隔$N$个样本重复一次。

总结

• 时域采样导致频域周期性，周期与采样间隔$\Delta t$相关。
• 频域采样导致时域周期性，时域的周期为$T = N \Delta t$，即$N$个样本的长度。
• 傅里叶变换的对偶性：时域和频域的采样/周期性具有对称性，时域采样对应频域周期，频域采样对应时域周期。

这种对偶关系是信号处理的核心概念，通过理解时域和频域之间的这种相互作用，可以解释很多离散信号处理中的现象。

Python示例演示

为了更直观地理解这一概念，下面通过一个Python示例来演示时域采样信号及其周期性扩展：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parameters
fs = 1  # Sampling frequency in Hz
T = 1/fs  # Sampling period
N = 8  # Number of samples
t = np.linspace(0, (N-1)*T, N)  # Time vector

# Generate a discrete-time signal (e.g., a cosine wave)
f_signal = 0.1  # Frequency of the signal in Hz
x_n = np.cos(2 * np.pi * f_signal * t)  # Discrete-time signal

# Visualize the discrete-time signal and its periodic extension
plt.figure(figsize=(10, 6))
# Plot the original sampled signal
plt.stem(t, x_n, 'r', basefmt=" ", markerfmt='ro', label='Sampled Signal')
plt.plot(t, x_n, 'b-', label='Underlying Signal')
# Extend the signal periodically
t_extended = np.linspace(0, 2 * (N-1)*T, 2*N)
x_extended = np.tile(x_n, 2)  # Periodic extension of the signal
plt.stem(t_extended, x_extended, 'g', basefmt=" ", markerfmt='go', label='Periodic Extension')
# Plot labels and titles
plt.title('Discrete-Time Signal and Periodic Extension (N samples)')
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.grid(True)
plt.legend()
# Show plot
plt.show()

图注：

• 蓝色曲线（Underlying Signal）：代表了生成的原始离散时间信号（例如，余弦波）。
• 红色竖线和圆点（Sampled Signal）：表示离散信号的采样点，即在时域中每个采样时刻的信号值。
• 绿色竖线和圆点（Periodic Extension）：表示信号的周期性扩展。由于离散时间信号的频域是周期性的，逆傅里叶变换后的时域信号也会周期性重复。这部分绿色的点是对原始信号的一个周期性复制。