线性代数：向量的模与单位向量
线性代数：向量的模与单位向量
向量是线性代数研究的基本元素，它将单一数值的研究推广到一组数的研究，能够更好地描述多维度世界。本文将详细介绍向量的模和单位向量的概念及其计算方法，帮助读者深入理解线性代数的基础知识。
向量是线性代数研究的基本元素。线性代数的重点在于其推广一个数的研究到一组数的研究。使用向量(Vector)能用来更好地描述多维度世界。
从方向的视角立看待向量：表征从一个点出发到另一个点的相应的结果，并不描述得到相应结果的过程差异(如起始点的不同)，为了研究方便，我们定义的向量都是从原点开始的(类比数轴，实数的值都是相对数轴上的0的距离的描述)。
零向量 O \color {red} {\small 零向量O}零向量O：数学上不直接定义什么是零向量，而是由从一个性质：“对于任意一个向量u ⃗ \vec uu，都存在一个向量O OO，满足：u ⃗ + O = u ⃗ \vec u + O = \vec uu+O=u”来推导出零向量O OO的存在。当在一个空间证明出了这个向量的存在，才称这个向量为零向量O OO。从方向的视角来看待零向量，那么零向量O OO就是从坐标原点(零向量本身)出发又指向零向量，所以零向量不是一个有向线段，它依然是一个点。因此零向量是一个特殊的向量，称呼它为一个向量是为了向量系统的统一，但是它本质是没有方向的，它就是一个点，而且就是坐标系的原点。
n nn维向量：在自然科学领域，有时一个单纯数量就可以量化某个物理量，如体积能够直观反映物体占用的空间大小。 但多数情况下，单纯的数量，不能准确表示一个物理量。所以引入向量的概念，来准确地描述一些事物。
如果使用一个5维向量可以对一个房子具像描述为:
一个向量具有两个属性，方向和大小，一个向量大小为模，方向由向量对应的单位向量进行表示。分析时可以提取向量的的单一属性进行分析。
向量的模(module):含义向量的大小，也就是向量的长度（或称模），向量u ⃗ 的模 \vec {u}的模u的模记作∥ u ⃗ ∥ |\vec {u}|∥u∥。
二维平面的向量的模的计算:∥ u ⃗ = O P ⃗ = ( x , y ) ∥ = x 2 + y 2 |\vec {u} =\vec {OP}= (x,y)|=\sqrt {x^2 + y^2}∥u=OP=(x,y)∥=x2+y2
三维空间的向量的模的计算:∥ u ⃗ = O P ⃗ = ( x , y , z ) ∥ = x 2 + y 2 + z 2 |\vec {u} =\vec {OP}= (x,y,z)|=\sqrt {x^2 + y^2 + z^2}∥u=OP=(x,y,z)∥=x2+y2+z2
推广到n nn维空间的向量的模的计算:∥ u ⃗ ∥ = ( u 1 , u 2 , . . . , u n ) T = u 1 2 + u 2 2 + . . . + u n 2 |\vec {u} |= (u_1,u_2,...,u_n)^T = \sqrt {u^2_1 + u^2_2 + ... + u^2_n}∥u∥=(u1 ,u2 ,...,un )T=u12 +u22 +...+un2
单位向量(unit vector):仅用以表示向量方向的向量。单位向量的模为$|\hat {u}| = 1. 其中，根据 . 其中，根据.其中，根据\vec {u}求出 求出求出\hat {u}$的过程称为:归一化，规范化（normalize）。