函数y=3/(10x²+5x+14)的二阶导数计算步骤

函数y=3/(10x²+5x+14)的二阶导数计算步骤

引用

网易

1.

https://m.163.com/dy/article/JA0AH2CC0536BX08.html

本文将详细介绍如何计算函数y=3/(10x²+5x+14)的一阶和二阶导数。通过函数商求导、函数乘积求导以及导数定义法，我们将逐步推导出该函数的导数表达式，并给出具体的应用示例。

一、多种方法求一阶导数

函数商求导法

考虑函数 ( y = \frac{3}{10x^2 + 5x + 14} )，使用函数商的求导法则：
[
y' = \frac{3'(10x^2 + 5x + 14) - 3(10x^2 + 5x + 14)'}{(10x^2 + 5x + 14)^2}
]
[
= \frac{0 - (60x + 15)}{(10x^2 + 5x + 14)^2}
]
[
= -\frac{3(20x + 5)}{(10x^2 + 5x + 14)^2}
]

函数乘积求导法

将原函数写为 ( y(10x^2 + 5x + 14) = 3 )，两边同时对 ( x ) 求导：
[
y'(10x^2 + 5x + 14) + y(20x + 5) = 0
]
[
y'(10x^2 + 5x + 14) = -y(20x + 5)
]
[
y' = -\frac{y(20x + 5)}{10x^2 + 5x + 14}
]
代入 ( y = \frac{3}{10x^2 + 5x + 14} )：
[
y' = -\frac{3(20x + 5)}{(10x^2 + 5x + 14)^2}
]

导数定义法

使用导数的定义：
[
y' = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{3}{10(x+t)^2 + 5(x+t) + 14} - \frac{3}{10x^2 + 5x + 14}}{t}
]
[
= 3 \lim_{t \to 0} \frac{(10x^2 + 5x + 14) - [10(x+t)^2 + 5(x+t) + 14]}{t[10(x+t)^2 + 5(x+t) + 14](10x^2 + 5x + 14)}
]
[
= -3 \lim_{t \to 0} \frac{10t^2 + 20tx + 5t}{t[10(x+t)^2 + 5(x+t) + 14](10x^2 + 5x + 14)}
]
[
= -3 \lim_{t \to 0} \frac{10t + 20x + 5}{[10(x+t)^2 + 5(x+t) + 14](10x^2 + 5x + 14)}
]
[
= -\frac{3(20x + 5)}{(10x^2 + 5x + 14)^2}
]

一阶导数的应用

以求函数在点 ( A(0, \frac{3}{14}) ) 和 ( B(-\frac{1}{4}, \frac{24}{107}) ) 处的切线方程为例：

对于点 ( A )：
[
x = 0, \quad y' = -\frac{15}{196}
]
切线方程为：
[
y - \frac{3}{14} = -\frac{15}{196}x
]

对于点 ( B )：
[
x = -\frac{1}{4}, \quad y' = 0
]
切线方程为：
[
y = \frac{24}{107}
]

二、函数商求二阶导数

已知一阶导数：
[
y' = -\frac{3(20x + 5)}{(10x^2 + 5x + 14)^2}
]
使用函数商的求导法则求二阶导数：
[
y'' = -3 \left[ \frac{20(10x^2 + 5x + 14)^2 - 2(20x + 5)(10x^2 + 5x + 14)(20x + 5)}{(10x^2 + 5x + 14)^4} \right]
]
[
= -3 \left[ \frac{20(10x^2 + 5x + 14) - 2(20x + 5)^2}{(10x^2 + 5x + 14)^3} \right]
]
[
= -6 \left[ \frac{10(10x^2 + 5x + 14) - (20x + 5)^2}{(10x^2 + 5x + 14)^3} \right]
]
[
= \frac{150(12x^2 + 6x - 1)}{(10x^2 + 5x + 14)^3}
]