无穷小与无穷大：定义、性质及常见等价无穷小

无穷小与无穷大：定义、性质及常见等价无穷小

无穷小与无穷大是数学分析中的重要概念，它们在极限理论中扮演着核心角色。本文将详细介绍无穷小与无穷大的定义、性质以及它们之间的关系，并列举一些常见的等价无穷小。

无穷小

在讨论数列和函数的极限时，经常遇到以零为极限的变量。例如，变量 $\frac{1}{n}$，当 $n \to \infty$ 时，其极限为 0；函数 $\frac{1}{x^2}$，当 $x \to \infty$ 时，其极限为 0；函数 $x-1$ 当 $x \to 1$ 时，其极限为 0。这些在自变量某一变化过程中以零为极限的变量统称为无穷小量（简称无穷小）。

定义

设 $f(x)$ 在 $U(x_0)$ 内有定义，若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$，则称函数 $f(x)$ 为 $x \to x_0$ 时的无穷小。

注：

1. 无穷小与一个很小的确定的常数（如 $\frac{1}{10^8}$）不能混为一谈。这是因为无穷小是个变量（函数）。自变量在某一变化过程中，其绝对值能小于任意给定的正数 $\epsilon$。但是 $\frac{1}{10^8}$ 做不到这一点。
2. 讨论无穷小的时候，要注意自变量的变化过程。例如 $f(x) = \frac{1}{x}$，当 $x \to \infty$ 时是无穷小，而当 $x \to 1$ 时极限却是一个常数。
3. 零是无穷小中唯一的常数。

无穷小运算性质

在自变量的同一变化过程中，有限个无穷小的和、差、积都是无穷小。下面我们给出无穷小的另一个重要性质：

性质： 在自变量的同一变化过程中，有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

例1： 求极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$。

解：由于 $x \to \infty$ 时 $\frac{1}{x}$ 的极限为 0，故 $\frac{1}{x}$ 是当 $x \to \infty$ 时的无穷小。而 $|\sin x| \le 1$ 是有界函数，因此由无穷小运算性质可知，$\frac{\sin x}{x}$ 是当 $x \to \infty$ 时的无穷小，即
$$
\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0
$$

注意：极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，而 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$，不要混淆。

无穷大

我们仅就 $x \to x_0$ 的情形来定义无穷大。

设 $f(x)$ 在 $U(x_0)$ 内有定义，如果当 $x \to x_0$ 时，对应的函数的绝对值 $|f(x)|$ 无限增大，就说 $f(x)$ 是当 $x \to x_0$ 时的无穷大量。

定义： 如果
$$
\forall M > 0 \quad \exists \delta > 0，当 0 < |x - x_0| < \delta 时，恒有 |f(x)| > M，
$$
则称函数 $f(x)$ 为 $x \to x_0$ 时的无穷大量，简称无穷大，记作 $\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$。

若将上述 “$|f(x)| > M$” 改成 $f(x) > M$ 或 $f(x) < -M$，则有 $\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$，称 $f(x)$ 为当 $x \to x_0$ 时的正无穷大；$\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$，称 $f(x)$ 为当 $x \to x_0$ 时的负无穷大。

注： 这里 $\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$ 只是借用了极限的符号，并不意味着函数 $f(x)$ 存在极限，因为无穷大 $\infty$ 不是数，不可与绝对值很大的常数混淆，无穷大是绝对值无限增大的变量。

例2： 证明 $\lim_{x \to 1} \frac{1}{x-1} = \infty$。

证明：$\forall M > 0$，要使 $|\frac{1}{x-1}| > M$，即 $|x-1| < \frac{1}{M}$，取 $\delta = \frac{1}{M}$，则当 $0 < |x-1| < \delta$ 时，恒有 $|\frac{1}{x-1}| > M$，因此 $\lim_{x \to 1} \frac{1}{x-1} = \infty$。

直线 $x=1$ 是函数 $y=f(x)$ 图形的铅直渐近线。

注： 若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$ 或 $\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$，则直线 $x=x_0$ 称为函数 $y=f(x)$ 图形的铅直渐近线。

例3： 求曲线 $y=\frac{4x-1}{(x-1)^2}$ 的渐近线方程。

解：因为 $\lim_{x \to 1} \frac{4x-1}{(x-1)^2} = \infty$，所以 $x=1$ 是曲线的铅直渐近线；

因为 $\lim_{x \to \infty} \frac{4x-1}{(x-1)^2} = 0$，所以 $y=0$ 是曲线的水平渐近线。

注： 若 $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a \neq 0$ 且 $\lim_{x \to \infty} [f(x) - ax] = b$，则直线 $y=ax+b$ 是函数 $y=f(x)$ 图形的斜渐近线。

常见等价无穷小

以下是常见的等价无穷小关系式：

$$
\begin{array}{rl}
& \sin x \sim x \
& 1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2 \
& \tan x \sim x \
& \arctan x \sim x \
& \arcsin x \sim x \
& a^x-1 \sim x \ln a \
& \ln(1+x) \sim x \
& (1+\beta x)^\alpha - 1 \sim \alpha \beta x \
& \log_a(1+x) \sim \frac{x}{\ln a} \
& x-\sin x \sim \frac{x^3}{6} \
& a^x-1 \sim x \ln a \
& \arcsin(ax) \sim \sin(ax) \sim ax \
& \arctan(ax) \sim \tan(ax) \sim ax \
& \ln(1+x) \sim x \
& \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \sim x \
& (1+ax)^b-1 \sim abx \
& \sqrt[b]{1+ax}-1 \sim \frac{a}{b}x \
& 1-\cos x \sim \frac{x^2}{2} \
& x-\ln(1+x) \sim \frac{x^2}{2} \
& \tan x-\sin x \sim \frac{x^3}{2} \
& \tan x-x \sim \frac{x^3}{3} \
& x-\arctan x \sim \frac{x^3}{3} \
& x-\sin x \sim \frac{x^3}{6} \
& \arcsin x-x \sim \frac{x^3}{6}
\end{array}
$$

完整的等价无穷小列表见此处。