计算三维空间点到线段的最短距离

计算三维空间点到线段的最短距离

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/yangyoung4/article/details/124820050

在三维空间中，计算一个点到线段的最短距离是一个常见的问题，特别是在计算机图形学、游戏开发等领域。与计算点到直线的距离不同，线段是有限长度的，因此需要考虑线段的端点。本文将详细介绍如何通过向量运算来计算点到线段的最短距离，并提供具体的代码实现。

理论推导

假设我们有线段AB和点P，我们需要计算点P到线段AB的最短距离。根据几何关系，可以将问题分为以下三种情况：

1. 点P在AB的延长线上（即点P到线段AB的投影落在BA的延长线上）
2. 点P在AB的反向延长线上（即点P到线段AB的投影落在AB的延长线上）
3. 点P到线段AB的投影在线段AB上

对于这三种情况，我们可以使用向量运算来统一处理。设向量AD为点P到线段AB的投影向量，可以表示为：

$$
\vec{AD} = r \cdot \vec{AB}
$$

其中，$r$是一个标量，可以通过以下公式计算：

$$
r = \frac{\vec{AP} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AB}|^2}
$$

根据$r$的值，我们可以判断点P的位置：

• 如果$r < 0$，说明点P在BA的延长线上，最短距离为$|\vec{AP}|$
• 如果$r > 1$，说明点P在AB的延长线上，最短距离为$|\vec{BP}|$
• 如果$0 \leq r \leq 1$，说明点P到线段AB的投影在线段AB上，最短距离为$|\vec{PD}|$

其中，$|\vec{PD}|$可以通过向量叉乘计算：

$$
|\vec{PD}| = \frac{|\vec{AP} \times \vec{AB}|}{|\vec{AB}|}
$$

代码实现

基于上述理论，我们可以编写一个函数来计算点到线段的最短距离。以下是JavaScript实现：

function distanceParallel(A, B, P) {
  // AB为线段的两个端点坐标，P为待测点坐标
  let res;
  const AB = [A[0] - B[0], A[1] - B[1], A[2] - B[2]];
  const AP = [A[0] - P[0], A[1] - P[1], A[2] - P[2]];
  const r = dot(AP, AB) / (mold(AB) * mold(AB));
  if (r <= 0) {
    res = mold(AP); // 在BA延长线上
  } else if (r >= 1) {
    res = mold([B[0] - P[0], B[1] - P[1], B[2] - P[2]]); // 在AB延长线上
  } else {
    res = pointIsOnLine(A, B, P);
  }
  return res;
}

function pointIsOnLine(A, B, P) {
  const AP = [A[0] - P[0], A[1] - P[1], A[2] - P[2]];
  const AB = [A[0] - B[0], A[1] - B[1], A[2] - B[2]];
  return mold(cross(AP, AB)) / mold(AB);
}

// 向量点积函数
function dot(v1, v2) {
  return v1[0] * v2[0] + v1[1] * v2[1] + v1[2] * v2[2];
}

// 向量模函数
function mold(v) {
  return Math.sqrt(v[0] * v[0] + v[1] * v[1] + v[2] * v[2]);
}

// 向量叉乘函数
function cross(v1, v2) {
  return [
    v1[1] * v2[2] - v1[2] * v2[1],
    v1[2] * v2[0] - v1[0] * v2[2],
    v1[0] * v2[1] - v1[1] * v2[0]
  ];
}

这段代码中包含了计算向量点积、模和叉乘的辅助函数，这些函数在计算点到线段距离时会用到。

总结

通过向量运算，我们可以简洁高效地计算三维空间中点到线段的最短距离。这种方法不仅适用于计算机图形学中的碰撞检测，还可以应用于各种需要计算几何关系的场景。希望本文能帮助读者更好地理解这一算法，并在实际项目中加以应用。