哥德巴赫猜想：从提出到研究进展

哥德巴赫猜想：从提出到研究进展

哥德巴赫猜想概述

哥德巴赫猜想最早由德国数学家哥德巴赫在1742年提出，他在给欧拉的信中提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和。然而，哥德巴赫自己无法证明这个猜想，于是写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但直到欧拉去世，这个猜想仍未得到证明。

随着数学的发展，现今数学界已经不使用"1也是素数"这个约定，因此哥德巴赫猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。具体来说，当n为偶数时，n=2+(n-2)，其中n-2也是偶数，可以分解为两个质数的和；当n为奇数时，n=3+(n-3)，其中n-3也是偶数，可以分解为两个质数的和。

欧拉在回信中还提出了另一个等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。这个版本更为简洁，也成为了哥德巴赫猜想的经典表述。

研究进展

1966年，中国数学家陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。这是哥德巴赫猜想研究的重要突破，陈景润也因此被誉为"摘取数学皇冠上的明珠"。

从关于偶数的哥德巴赫猜想，可以推出一个相关结论：任何一个大于7的奇数都能被表示成三个奇质数的和。这个结论被称为"弱哥德巴赫猜想"或"关于奇数的哥德巴赫猜想"。2013年5月，巴黎高等师范学院研究员哈洛德·贺欧夫各特彻底证明了弱哥德巴赫猜想。

研究途径

研究哥德巴赫猜想主要有四个途径：殆素数、例外集合、小变量的三素数定理以及哥德巴赫问题。

殆素数

殆素数就是素因子个数不多的正整数。设N是偶数，虽然不能证明N是两个素数之和，但足以证明它能够写成两个殆素数的和，即N=A+B，其中A和B的素因子个数都不太多。用"a+b"来表示如下命题：每个大偶数N都可表为A+B，其中A和B的素因子个数分别不超过a和b。显然，哥德巴赫猜想就可以写成"1+1"。

在这一方向上的进展都是用所谓的筛法得到的"a+b"问题的推进。例如，1920年，挪威的布朗证明了"9+9"；1924年，德国的拉特马赫证明了"7+7"；1932年，英国的埃斯特曼证明了"6+6"；1937年，意大利的蕾西先后证明了"5+7"、"4+9"、"3+15"和"2+366"；1938年，苏联的布赫夕太勃证明了"5+5"；1940年，苏联的布赫夕太勃证明了"4+4"；1956年，中国的王元证明了"3+4"，稍后证明了"3+3"和"2+3"；1966年，中国的陈景润证明了"1+2"。

例外集合

在数轴上取定大整数x，再从x往前看，寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数，即例外偶数。x之前所有例外偶数的个数记为E(x)。我们希望，无论x多大，x之前只有一个例外偶数，那就是2，即只有2使得猜想是错的。这样一来，哥德巴赫猜想就等价于E(x)永远等于1。虽然还不能证明E(x)=1，但是能够证明E(x)远比x小。在x前面的偶数个数大概是x/2，如果当x趋于无穷大时，E(x)与x的比值趋于零，那就说明这些例外偶数密度是零，即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。

三素数定理

我们可以把这个问题反过来思考：如果偶数的哥德巴赫猜想正确，那么奇数的猜想也正确。已知奇数N可以表成三个素数之和，假如又能证明这三个素数中有一个非常小，譬如说第一个素数可以总取3，那么我们也就证明了偶数的哥德巴赫猜想。这个思想促使潘承洞先生在1959年，25岁时，研究有一个小素变数的三素数定理。这个小素变数不超过N的θ次方，我们的目标是要证明θ可以取0，即这个小素变数有界，从而推出偶数的哥德巴赫猜想。潘承洞先生首先证明θ可取1/4，后来的很长一段时间内，这方面的工作一直没有进展，直到1995年展涛教授把潘老师的定理推进到7/120。

林尼克定理

1953年，林尼克发表了一篇长达70页的论文，在文中，他率先研究了哥德巴赫问题，证明了，存在一个固定的非负整数k，使得任何大偶数都能写成两个素数与k个2的方幂之和。这个定理，看起来好像丑化了哥德巴赫猜想，实际上它是非常深刻的。我们注意，能写成k个2的方幂之和的整数构成一个非常稀疏的集合。事实上，对任意取定的x，x前面这种整数的个数不会超过logx的k次方。因此，林尼克定理指出，虽然我们还不能证明哥德巴赫猜想，但是我们能在整数集合中找到一个非常稀疏的子集，每次从这个稀疏子集里面拿一个元素贴到这两个素数的表达式中去，这个表达式就成立。