偏导数与全微分：从线性近似到曲面微分

偏导数与全微分：从线性近似到曲面微分

偏导数和全微分是微积分中的重要概念，它们帮助我们理解函数在某一点附近的线性近似。本文通过图文结合的方式，详细解释了偏导数和全微分的概念，并通过具体的数学推导和图形展示，帮助读者理解这些抽象的数学概念。

线性近似是微积分的核心思想。在《马同学图解微积分（上）》中，这一点体现为：可通过某直线来近似某曲线在某点及其附近的图像，该直线称为该曲线在该点的微分，或称为该曲线在该点的切线。

同样的，可通过某平面来近似某曲面在某点及其附近的图像，该平面称为该曲面在该点的微分，也称为该曲面在该点的全微分，或称为该曲面在该点的切平面。

从上面的举例可看出，“微分”在数学中指代的就是线性近似中的“线性”。在后面的讲解中如果必要，会使用“曲线的微分”、“曲面的微分”进行区分，也会视情况使用“微分（切线）”以及“微分（切平面）”。

本课和下一课会介绍两种寻找某曲面在某点的微分的方法，先来看看第一种的思路。

寻找曲面微分的思路

显然，有无数条曲线包含在某曲面在某点及其附近图像中，比如下图绘出的两条红色曲线。

如果能近似某曲面在某点及其附近图像的平面存在，即某曲面在某点的微分存在，此时称在某点可微分，那么：

• 该曲面微分必可近似曲面所包含的曲线
• 上图中的曲线的微分必包含在该曲面微分中

我们知道两根不重合的相交直线可以决定一个平面，结合上面的分析，所以接下来的事情是：

• 找到某曲面上方便计算的两条曲线
• 求出这两条曲线的微分
• 通过这两个微分计算出我们要寻找的平面，即某曲面在某点的微分

接下来的两节就会逐一完成上面的三件事情。

偏微分

本节会完成两件事情，找到某曲面上方便计算的两条曲线，以及求出这两条曲线的微分。

这两根曲线在某点的微分，即下图中的两根黑色直线，显然是不重合的。在数学中，它们分别被称为曲面在某点对x的偏微分，及曲面在某点对y的偏微分，或笼统地称为曲面在某点的偏微分（Partial differential）。

偏导数

接着的任务就是求出上述的偏微分，这需要把这两条空间曲线用代数表示出来。以其中位于曲面上、过某点、平行于x轴的空间曲线为例，该空间曲线可以看作平面与曲面的交线，如下图所示。根据空间曲线的一般方程，所以该空间曲线的方程为。

该空间曲线的微分，即曲面在某点对x的偏微分，也在平面y=y0上，如下图所示。

上述空间曲线可看作xOz面上的平面曲线。要求出在某点的微分，自然需要先求出在某点的导数。根据单变量函数导数的定义，所以有：

在多元函数的微积分中，上述导数也称为偏导数。其具体定义如下：

偏微分的求解

有了偏导数后，结合上单变量函数微分的定义，就可得平面曲线在某点的微分为，这是在某点建立的坐标系中过原点的直线，如下图所示（还有不清楚的，可以查看《马同学图解微积分（上）》中的讲解）。

若在空间中的某点建立坐标系，如下图所示。

将变换到坐标系下，空间曲线在某点的微分，也就是曲面在某点对x的偏微分，这是在平面（即平面）上的直线，如下图所示。

全微分

本节会完成最后一件事情，根据两个微分求出曲面在某点的微分，或者说求出曲面在某点的全微分。

和位于曲面在某点的全微分上，其叉积是全微分的法向量，如下图所示。

根据叉积的定义，可得：

知道了曲面在某点的全微分的法向量，又该全微分会过坐标系的原点，所以根据平面的点法式方程，可得全微分的方程为：

小结

至此，我们求出了曲面的线性近似，也就是某曲面在某点的全微分。但涉及到以及这些坐标系，所以代数看上去特别复杂，这里特别总结如下：