椭圆光学性质的几何证明

椭圆光学性质的几何证明

椭圆的光学性质在现代科技中有着广泛的应用，例如在天线设计、光学仪器和医学成像等领域。这一性质的核心是：从一个焦点发出的光线，都会汇聚到另一个焦点。这种神奇的性质的证明，往往都是通过解析几何来说明。这里介绍一个简单的、只需要几何方法即可说明的证法。

问题描述和证明思路

已知椭圆的半长轴为a，焦点是(F_1)和(F_2)，在椭圆上任选一点C（共线情况好说，这里不妨认为C与(F_1)、(F_2)不共线），作C的角平分线(l)，过C点作(l)的垂线m，则m是椭圆的切线。

这和高中的一道题有些像：已知有两个村庄F1、F2和河流m，在m上要建一个抽水站P，问P在哪里使得(PF_1+PF_2)最小。受到启发，证明如下

证明思路：添加辅助线——作(CF_1)关于m的对称线段CA。容易证明A、C、(F_2)是共线的。这和抽水站问题很像：如果取m上不是C的点P，则

[PA+PF_2>CA+CF_2=2a ]

也就是说，(PF_1+PF_2)也要大于2a，即P点要落在椭圆外面。这意味着直线m与椭圆只有一个交点。即m是椭圆的切线。

后记

椭圆的光学性质可以通过一个物理场景来理解：一根2a长的绳子两端固定在两点上，一个人挂在滑轮上从一端滑向另一端。他的轨迹就是椭圆，而速度就是切线。从这个出发突然想到了椭圆的光学性质，可以这样证。

在百度的时候，发现已经有人发表了类似的完整证明，还有其他类型的二次曲线。这里是一些链接：

2. 利用反证法证明圆锥曲线的 光学性质
3. “椭圆光学性质”的古今三种证明方法及思考