根号5是无理数吗？用反证法证明根号5是无理数

根号5是无理数吗？用反证法证明根号5是无理数

根号5是否为无理数？这是一个经典的数学问题。本文将通过反证法证明根号5是一个无理数，并介绍无理数的相关知识。

证明过程

方法一

假设根号5是有理数，可以表示为两个互质的正整数p和q的比，即：

[
\sqrt{5} = \frac{p}{q}
]

两边平方得：

[
5 = \frac{p^2}{q^2}
]

即：

[
p^2 = 5q^2
]

这说明(p^2)可以被5整除，因此p也可以被5整除（反证法可以证明：如果p不能被5整除，则(p^2)也不能被5整除）。设(p = 5n)，代入上式得：

[
25n^2 = 5q^2
]

即：

[
q^2 = 5n^2
]

这说明(q^2)也可以被5整除，因此q也可以被5整除。这样p和q都有公因子5，这与p和q互质的假设相矛盾。因此，根号5不能表示为两个互质的正整数的比，即根号5是一个无理数。

方法二

假设根号5是有理数，可以表示为一个最简分数(\frac{a}{b})，其中a和b是互质的正整数。则有：

[
\sqrt{5} = \frac{a}{b}
]

两边平方得：

[
5 = \frac{a^2}{b^2}
]

即：

[
a^2 = 5b^2
]

这说明(a^2)可以被5整除，因此a也可以被5整除。设(a = 5k)，代入上式得：

[
25k^2 = 5b^2
]

即：

[
b^2 = 5k^2
]

这说明(b^2)也可以被5整除，因此b也可以被5整除。这样a和b都有公因子5，这与a和b互质的假设相矛盾。因此，根号5不能表示为两个互质的正整数的比，即根号5是一个无理数。

无理数的相关知识

1. 无理数是不能化为分数的数，严格地说，无理数就是不能写成两个整数比的数。
2. 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。
3. 无理数的特征是无限的连分数表达式。
4. 无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。
5. 无理数不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

结论

根号5是一个无理数，不能表示为两个整数的比，其小数表示是一个无限不循环小数。