2024年中考数学压轴题解析：坐标系中的辅助线规律与解题思路
2024年中考数学压轴题解析：坐标系中的辅助线规律与解题思路
在中考数学中，坐标系中的辅助线规律和解题思路是攻克压轴题的关键。本文将通过四个典型例题，详细解析如何运用辅助线、设点坐标等方法来解决此类问题。
解题思路
- 辅助线： 向坐标轴作垂线，坐标轴中的直角是解题的关键；
- 证明构造出的直角三角形相似或全等；
- 三角形相似或全等，则利用边成比例求解，全等则对应边相等。往往是和坐标轴垂直的边。
或者以下思路：
- 设点的坐标： 用未知数表示点的坐标（注意从较小的点开始比较容易）；
- 将题目中需要的条件（如三角形的边）用含未知数的代数式表示；
- 列方程。根据已知条件，将点的坐标代入解析式。
注：这些思路不是完全固定不变的，同学们应该根据题目条件灵活组合运用。另外，这里总结出此类求最值题目常规思路：
设点的坐标（或者说设未知数）→根据题目条件列式得出二次函数（或者代入函数解析式）→根据二次函数性质求最值。
典题分析
典型题1
★★★如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上,点D(﹣2,3),AD=5,若反比例函数y=k
A.16
B.8
C.10
D.32
思路分析： 向坐标轴作垂线—证明构造出的直角三角形全等或相似—三角形相似，利用边成比例求解.
如解析图示,过D作DE⊥x轴于E,过B作BF⊥x轴,BH⊥y轴.先证△ADE≌△BCH(AAS),再证△APO∽△BAF.∵△APO∽△BAF.根据对应边成比例,求出BF,得出B的坐标，带入反比例函数解析式得出答案.
答案解析： 解:如图,过D作DE⊥x轴于E,过B作BF⊥x轴,BH⊥γ轴,
∠BHC=90°,∵点D(-2,3),AD=5,
∴DE=3,∴AE=
∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,
∴∠BCD=∠ADC=90°,
∴∠DCP+∠BCH=∠BCH+∠CBH=90°,∴∠CBH=∠DCH,
∵∠DCP+∠CPD=∠APO+∠DAE=90°,∠CPD=∠APO,
∴∠DCP=∠DAE,∴∠CBH=∠DAE,
∵∠AED=∠BHC=90°,
∴△ADE≌△BCH(AAS),
∴BH=AE=4,
∵OE=2,∴OA=2,∴AF=2,
∵∠APO+∠PAO=∠BAF+∠PAO=90°,
∴∠APO=∠BAF,∴△APO∽△BAF,
∴
∴B4
典型题2
★★★如图，在平面直角坐标系中,已知A(-3,-2),B(0,-2),C(-3,0),M是线段AB上的一个动点,连接CM,过点M作MN⊥MC交y轴于点N,若点M、N在直线y=kx+b上,则b的最大值是()
A.?7
B.?
C.-1
D.0
思路分析： 向坐标轴作垂线→证明构造出的直角三角形相似——利用边成比例求解→设未知数→列式得出二次函数→根据二次函数性质求最值.
如解析图示,连接AC.证明△AMC∽△NBM.根据对应边成比例，得出AC
答案解析： 解：如图，连接AC，则四边形ABOC是矩形,
∴∠A=∠ABO=90°,
又∵MN⊥MC,∴∠CMN=90°,
∴∠AMC=∠MNB,
∴AMC～NBM,∴
设BN=y,AM=x.则MB=3-x,
ON=2-y,
∴23?x=
∴当x=?b
y
∵直线y=kx+b与y轴交于N(0,b)
当BN最大,此时ON最小,点N(0,b)越往上，b的值最大，
∴ON=OB?BN=2?98=78,此时,N(0,
注：“设未知数→列式得出二次函数→根据二次函数性质求最值”是常规解题步骤，同学们一定要熟练掌握.
典型题3
★★★如图,点D是?OABC内一点,CD与x轴平行,BD与y轴平行,BD=2,∠ADB=135°,S△ABD=2.若反比例函数y=k
A.22
B.4
C.3
D.6
思路分析： 作辅助线.作AM⊥y轴于M，延长BD,交AM于E,设BC与y轴的交点为N.证明△AOM≌△CBD,得到OM=BD,用代数式表示出A、D点的坐标→根据反比例函数解析列式求解.
答案解析： 如图，作AM⊥y轴于M，延长BD,交AM于E,设BC与y轴的交点为N,
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC,OA=BC,∴∠AOM=∠CNM,
∵BD∥y轴,∴∠CBD=∠CNM,
∴∠AOM=∠CBD,
∵CD与x轴平行,BD与y轴平行,
∴∠CDB=90°,BE⊥AM,
∴∠CDB=∠AMO,
∴△AOM≌△CBD(AAS),
∴OM=BD=2,易得
∵
BD=
∵∠ADB=135°,∴∠ADE=45°,
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AE=22,∴D的纵坐标为32,设A(m,
∵反比例函数y=kxx
解得m=32
典型题4
★︿如图，点E，F在函数y=2x的图象上