群、环、域——概念梳理
群、环、域——概念梳理
在数学中，抽象代数是一个重要的分支，它研究各种代数结构，如群、环、域等。这些概念虽然抽象，但它们在现代数学和物理学中有着广泛的应用。本文将从基本的二元运算开始，逐步介绍这些重要的代数结构。
一般来说，我们可以在集合 X 上定义多种不同的代数运算。从中选定一种后，比如记作 (X,
)，则称 运算
定义了集合 X 上的一种 代数结构，或 (X,
) 是一个 代数结构（亦称 代数系统）。与一般的 n 元运算及其组合相应的代数结构组成了泛代数理论研究的对象。带有二元运算的代数结构是泛代数的特殊部分，在数学本质上具有重要意义。
二元运算
设
是任意集合，从笛卡尔平方
到
的任意一个确定的映射
称作 集合
上的 二元代数运算。这样，任取元素
, 有序对 (a,b) 对应于
中唯一确定的元素
。有时将
写成
，通常会引入特殊记号来表示
上的二元运算。
半群、幺半群、群
集合 X 连同其上给定的满足结合律的二元运算组成的代数结构，称为 半群。带有单位元的半群通常称为 幺半群。所有元素都可逆的幺半群叫作 群。群的二元运算若满足交换律，自然叫作 交换群，也常叫作 阿贝尔群。
环和域
（结合）环的定义——
在非空集合 R 上定义了两种二元代数运算 +（加法）和
（乘法），若满足下述条件：
1）代数结构（R，+）是（加法）阿贝尔群；
2）代数结构（R，
）是（乘法）半群；
3）乘法对加法具有分配律，即 (a + b)c = ac + bc, c(a+b) = ca + cb 对任意 a,b,c
R 成立。
则称 代数结构(R，+，
)是 （结合）环。
上述条件 2）意味着 R 上的乘法具有结合律。在应用中和广义环论中，人们研究的另一类代数结构有时不具备条件 2），或者视具体问题代之以其他条件。这种情况下，称它们为 非结合环。
如果 R 上的乘法是交换的，即任取 x,y
R 都有 xy = yx，则环 (R，+，
)叫作 交换环（与群不同，交换环通常不称作阿贝尔的）。设 P 是一个有单位元 1
0 的交换（结合）环 （R，+，
)，若 P 中每个非零元素都（关于乘法）可逆，即 (R,
)是一个乘法阿贝尔群，则称 P 是 域。