近代数学历史上最具有传奇色彩的数学理论之一——伽罗瓦理论

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@小白创作中心

近代数学历史上最具有传奇色彩的数学理论之一——伽罗瓦理论

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http://www.360doc.com/content/24/1231/13/48115167_1143419225.shtml

伽罗瓦理论是现代代数学的重要基础理论之一，广泛应用于编码、密码等现代科学领域，同时在尺规作图等经典应用中也发挥着重要作用。本文将从伽罗瓦理论的起源、发展及其在现代科学中的重要性等方面进行详细介绍。

伽罗瓦理论是现代代数学的最重要基础理论之一，广泛的应用于编码、密码等现代科学领域；尺规作图等经典应用对基础教育也有着非常重要的作用。因此，作者基于 2018、2021 和 2023 年讲授本科生课程《伽罗瓦理论》的讲义编写本教材。

伽罗瓦理论起源于代数方程的研究，是近代数学历史上最具有传奇色彩的数学理论之一，它的开端是不到 20 岁的伽罗瓦引入群的概念完全解决了高次方程的根式解问题，虽然伽罗瓦在 21 岁就因为决斗而死，他的这项成果也一度差点消失在数学历史的长河中，但幸运的是在距离他去世后十多年，刘维尔对伽罗瓦留下的手稿进行整理和发表，使得这个理论重见天日，并彻底改变了代数学的面貌。这个理论对数学中的其他分支以及物理化学等都起到了重要作用，今天的计算机网络通信和加密方法基本都是建立在伽罗瓦提出的有限域的理论基础上的，如果其成果消失在历史中，我们今天的世界可能会非常不同！

由于伽罗瓦理论是少有的一开始就有非常明确的引人入胜的总目标的课程，伽罗瓦大定理给人非常神秘的感觉，想完全了解这个定理是如何一步步实现的是学生学习这个课程最大的动机。编写本书的其中一个原因是希望从第一视角切入，层层设问，通过问题创建和问题解决这两个数学学习和教学中的最根本手段，一步步推进伽罗瓦理论的知识介绍。

本书的整体结构如下：在第一章详细介绍伽罗瓦理论的起源以及伽罗瓦代数方程可根式解的判定条件，确立伽罗瓦理论的总目标。为了适用更广泛的理论体系，我们在一般域上考虑代数方程求根问题，这自然的就涉及域的扩张、多项式的分裂域、代数闭包等基本理论，这些内容我们在第二章进行简要介绍。

在第二章的末尾，我们会看到一些特殊的多项式的分裂域和伽罗瓦群，对它们之间的关系有个初步的印象：分裂域越复杂，伽罗瓦群也越复杂。这启发我们在第三章我们探索域扩张的中间域和伽罗瓦群的子群之间的对应关系，这部分内容是伽罗瓦理论的核心内容，包括伽罗瓦扩张等核心概念。

由于代数方程的根式解问题实际上关心的是多项式的分裂域，而伽罗瓦基本定理考虑的是伽罗瓦扩张，因此我们在第四章研究什么时候多项式 2 的分裂域是伽罗瓦扩张。这样可分扩张、完全域等内容也自然的进入第四章。作为伽罗瓦理论的一个简单应用，第四章给出了代数学基本定理的一个证明。

为了研究代数方程根式解与伽罗瓦群可解的相互关系，在第五章主要讨论多项式的伽罗瓦群的基本特点，低次多项式的伽罗瓦群，以及伽罗瓦群为循环群的扩张与根式扩张的关系。而第六章在简单回顾可解群的定义和判定方法之后，给出了代数方程根式解与伽罗瓦群可解的相互关系的主要定理的证明。

在第七章和第八章，讲述伽罗瓦理论的两个经典的应用：尺规作图以及 e 和 π 的超越性。对学有余力的读者，我们在第九章安排了求整系数多项式伽罗瓦群的有效方法—模 p 法。

内容简介

本书主要介绍伽罗瓦理论及其应用, 完整地介绍了如何利用域的扩张、伽罗瓦基本定理和群论的知识证明伽罗瓦大定理: 代数方程可以根式解当且仅当其对应的伽罗瓦群为可解群, 特别是一般五次以上代数方程没有根式解公式. 在伽罗瓦理论的应用方面, 介绍了尺规作图、e 和π的超越性等. 本书的主要特点是从第一视角切入, 通过不断设问来将知识不断向前推进, 尽可能做到介绍每个知识都有一个合理的理由. 本书的部分习题有一定的难度, 如果遇到困难可以通过相互讨论或者网络查询寻找答案. 阅读本书需要读者有基本的群论知识和一定的环论知识, 本书可供学习完近世代数课程的本科生阅读。