相切于球体上定点的平面

相切于球体上定点的平面

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/weixin_38667017/article/details/144835276

在三维空间中，求解球体上某一点的切面是一个常见的数学问题。本文将通过类比二维平面上圆的切线问题，详细介绍如何计算球体上某一点的切面，并给出具体的MATLAB代码实现。

1. 问题描述

该问题同二维平面上求解过圆上一点的直线问题类似。在二维平面上，过圆上一点的切线与该点到圆心的连线垂直。在三维空间中，过球体上一点的切面与该点到球心的连线也垂直。

2. 已知条件

已知球体表面上一点P，球心C，求球面上P点的切面M。

3. 求解

令向量n = P − C，则u = (ny, −nx, 0)，v = u × n

平面M = P + t ⋅ u + m ⋅ v

其中，t和m是参数，可以取任意实数。

具体步骤如下：

1. 计算向量n = P - C
2. 计算向量u = (ny, -nx, 0)
3. 计算向量v = u × n
4. 使用参数方程M = P + t ⋅ u + m ⋅ v表示切面

4. Code

以下是MATLAB代码实现：

close all;
clear;
rng default;
C = rand(1,3);
r = rand();
t = rand(1,2)*pi;
P = C + [r*cos(t(1))*sin(t(2)), r*sin(t(1))*sin(t(2)), r*cos(t(2))];
t = linspace(0, 2*pi, 50);
u = linspace(0, 2*pi, 50);
[t,u] = meshgrid(t,u);
x = C(1) + r*cos(t).*sin(u);
y = C(2) + r*sin(t).*sin(u);
z = C(3) + r*cos(u);
n = normalize(P - C,'norm');
m = [0, n(3), -n(2)];
l = cross(m,n);
c1 = linspace(-1,1,20);
c2 = linspace(-1,1,20);
[c1,c2] = meshgrid(c1,c2);
xx = P(1) + c1*m(1) + c2*l(1);
yy = P(2) + c1*m(2) + c2*l(2);
zz = P(3) + c1*m(3) + c2*l(3);
figure;
mesh(x,y,z);
axis equal
hold on
mesh(xx,yy,zz)
hold on
scatter(P(1),P(2), P(3),'filled')

运行上述代码，可以得到如下图形：

从图中可以看出，蓝色网格表示球体表面，红色网格表示过点P的切面，黑色点表示点P的位置。