图形学中平面的表示方法

图形学中平面的表示方法

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/m0_37763682/article/details/105334154

在计算机图形学中，平面的表示方法是基础且重要的概念。本文将详细介绍几种常见的平面表示方法，包括截距式、点法式、一般式、法线式以及其他方式（法线+空间内两点）。这些知识对于理解和实现图形学算法具有重要意义。

简述

“平面方程”是指空间中所有处于同一平面的点所对应的方程，其一般式形如Ax+By+Cz+D=0。（解释和前几种方法均来自百度百科）百度百科

表示方法

截距式

• 设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,若D不等于0，取a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C,则得平面的截距式方程：x/a+y/b+z/c=1
• 它与三坐标轴的交点分别为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)，其中，a,b,c依次称为该平面在x,y,z轴上的截距。

点法式

• n为平面的法向量，n=(A,B,C),M,M’为平面上任意两点，则有n·MM’=0, MM’=(x-x0,y-y0,z-z0)，
  从而得平面的点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
• 三点求平面可以取向量积为法线
  任一三元一次方程的图形总是一个平面，其中x,y,z的系数就是该平面的一个法向量的坐标。
  两平面互相垂直相当于A1A2+B1B2+C1C2=0
  两平面平行或重合相当于A1/A2=B1/B2=C1/C2
  点到直线的距离公式:

一般式

• Ax+By+Cz+d=0

法线式

• xcosα+ycosβ+zcosγ=p ，其中cosα、cosβ、cosγ是平面法矢量的方向余弦，p为原点到平面的距离。

其他方式表示平面

法线+空间内两点

• 如下图 其中A,B分别是空间上两个点，N为该平面的法向量，D为平面到坐标原点的距离。
• 平面方程：
• 平面示意图：
  
• 关于该方程的推导：
  N·P = N·(P-(0,0,0)) =Plane.distence(C# 中原点到平面的距离求法)

补充：表示三角面片的方法（区域）

• 本方法出自论文《Fast Minimum Storage Ray Triangle Intersection》
• 三角形参数方程，记三角形的三个顶点为v0,v1,v2，u,v,分别是v1,v2的权重，并满足u,v>0，且u+v≤1.
• 方程表示为：(T(u,v)表示三角形内一点)
  T(u,v) = (1 - u - v)·v0 + u·v1 + v·v2
  上面的方程是三角形及其内部所有点的方程，因为三角形内任意一点都可以理解为从顶点V0开始，沿着边V0V1移动一段距离，然后再沿着边V0V2移动一段距离，然后求他们的和向量。至于移动多大距离，就是由参数u和v控制的。
  论文及 射线与三角面片是否接触的检测代码(c#)见添加链接描述