隔板法的三种题型及应用解析

隔板法的三种题型及应用解析

隔板法是排列组合中一种重要的解题方法，主要用于解决相同元素的不同分堆问题。本文将详细介绍隔板法的三种题型及其应用，帮助读者掌握这一解题技巧。

隔板法的基本概念

隔板法主要针对的是相同元素的不同分堆问题。其基本公式为：

如果把n个相同的元素分给m个不同的对象，每个对象至少有一个，那么不同的分法数量为：

隔板法的三种题型

1. 标准型

标准型需要同时具备以下三个要求：

• 被分配的n个元素无差别
• 这n个元素分给m个不同对象
• 每个对象至少分一个元素

例题1： 把6本相同的书放进4个抽屉，每个抽屉至少放1本书，问有多少种不同的放法？

解析： 这是一个标准型隔板法问题。n=6，m=4。根据公式：

2. 多分型

多分型需要同时具备以下三个要求：

• 被分配的n个元素无差别
• 这n个元素分给m个不同的对象
• 每个对象至少分x个元素

例题2： 有6份资料要分给3个部门，每个部门至少分9份，问有多少种不同的分法？

解析： 这是一个多分型隔板法问题。首先每个部门先分8份，然后把剩下的6份分给3个部门，保证每个部门分1份。n=6，m=3。

3. 少分型

少分型需要同时具备以下三个要求：

• 被分配的n个元素无差别
• 这n个元素被分给m个不同的对象
• 被任意分给这m个不同的对象

例题3： 有20个小球放入3个盒子，允许有的盒子为空，问有多少种不同的放法？

解析： 这是一个少分型隔板法问题。先向每个盒子借3个小球，总共就会有23个小球，接下来分的时候需要再给每个盒子一个小球，就变成每个盒子至少分一个小球了。

隔板法的应用场景

1. 放球问题

例题4： 把10个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同的放法？

解析： 取3块相同隔板，连同10个相同的小球排成一排，共13个位置。由隔板法知，在13个位置中任取3个位置排上隔板，共有C(13,3)种排法。

2. 指标分配问题

例题5： 某校召开学生会议，要将20个学生代表名额，分配到某年级的4个班中，若每班至少1个名额，有多少种不同分法？

解析： 第一步：4个班每班先分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的16个名额分配给4个班。取3块相同隔板，连同16个相同名额排成一排，共19个位置。由隔板法知，在19个位置中任取3个位置排上隔板，有C(19,3)种排法。

3. 求n项展开式的项数

例题6： 求(a+b+c+d)^10展开式有多少项？

解析： 用10个相同的小球代表幂指数, 用4个标有a、b、c、d的4个不同的盒子表示数a、b、c、d，将10个相同的小球放入4个不同的盒子中，把标有的每个盒子得到的小球数，记作的次方。这样，将10个相同的小球放入4个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。取3块相同隔板，连同10个相同的小球排成一排，共13个位置。由隔板法知，在13个位置中任取3个位置排上隔板，有C(13,3)种排法。

4. 求n元一次方程组的非负整数解

例题7： 求方程x+y+z=10的正整数解的个数。

解析： 第一步：3个盒子每个盒子先分配1个小球，只有1种分法；第二步：将剩下的7个小球分配给3个盒子。取2块相同隔板，连同7个相同小球排成一排，共9个位置。由隔板法知，在9个位置中任取2个位置排上隔板，有C(9,2)种排法。

升级-元素不相邻问题

当元素之间不相邻，则可将插入“隔板”改为插入“元素”，即插空法。

例题8： 若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法?

解析： 首先将C、D、E三个人排列，有P(3,3)种排法；若排成DCE，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：︺D︺C︺E︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，P(4,2)种插法，共有排队方法：6*12=84。