心形线的几何性质：面积、周长、形心及旋转体体积的计算

心形线的几何性质：面积、周长、形心及旋转体体积的计算

心形线（Cardioid）是一种常见的数学曲线，因其形状像心脏而得名。本文将从多个角度探讨心形线的几何性质，包括其面积、周长、形心位置以及绕轴旋转形成的体积和表面积。

已知笛卡尔心形线的极坐标表达式：

当然写成

的图形跟这个是一样的，只是旋转到了其他几个方位而已

图形还像个peach，也有点像ass，完全取决于你看待这个图形的方式(

另外，这个跟我的头像并不一样，我的头像是两个半圆和一个斜着的正方形拼成的~

至于为什么叫笛卡尔心形线，这是源于很久以前笛卡尔与瑞典公主克里斯汀的故事。故事是啥没深入了解，但放在高数和数分里头当例题很抓狂了(赛博做题家笑出猪叫)今儿就给自己出几道积分题来探索探索这个心形线里的一些几何元素(其实大概率能在应用题里头找到)

绘制方法

法一是采用动圆绕一定圆滚动一周得到，因此笛卡尔心形线也是一条特殊的外摆线

由于涉及旋转，因此采用复平面可更方便地描述

向量平移和线性运算与复数加减法相对应，而向量的伸缩和旋转又与复数的乘除法相对应

以原点为圆心作一个半径为r的定圆，随后在(0,2r)处取一点A，作半径也为r的圆，随后A绕原点逆时针旋转一周，因此可设A点对应的复数为：

其中π/2为初始角，α为转过的弧度

两圆接触点记为B，由于两圆外切，故两圆心和切点共线，且切点位于两圆心之间

又由于两圆半径相等，故B为OA中点，则B点对应的复数为：

随后转动α：

设一开始的接触点为C(0,r)，原来的接触点现在到了P点所在位置，滚动过程中绿色的两段弧长是相等的，也就是滚过的路程，即

又由于两圆半径相等，从而由

知所对的圆周角也相等，也即

这意味着，

可由

逆时针旋转

得到

再由

，对应到复数上，即P点对应的复数为：

利用欧拉公式

展开成直角坐标的形式，实部和虚部就分别对应了P点坐标x(α)和y(α)

于是点P的参数方程为：

轨迹画出来就是笛卡尔心形线：

下面将曲线向下平移r个单位得：

利用二倍角展开可以进行因式分解：

考虑化为极坐标，有：

再寻找ρ和θ的关系：

由于θ=0对应于x轴正半轴，于是可找到关系式：

代入表达式消去参数α即得极坐标方程：

一些几何量的求解

为了方便求解，我们考虑将心形线逆时针旋转90°，即作替换

得：

另外，下面会用到Beta函数的一个变式：

顺带给出几个有关Beta函数的公式，证明可参考其他资料，这里就略去证明了：

与Gamma函数的转化关系：

Gamma函数的递推式

余元公式：

，特殊地有

没接触过的可以先用华里士公式求解(毕竟这里涉及的都只是整数次方)

(1)心形线的面积

根据对称性，只需求出x轴上方的面积再乘以2，于是取θ的范围为0到π

面积微元

，于是：

答案检验：

(2)心形线周长

根据对称性，只需求出x轴上方的周长再乘以2，于是取θ的范围为0到π

弧长微元

，于是：

答案检验：

这里没开方是因为MMA里默认未赋值参数为复数，若加上a>0开方出来就跟前面答案一致了

(3)心形线的形心(即质量均匀时的质心)

①若是边界曲线(心形线)的形心，则求解如下：

依据对称性，形心纵坐标为0，横坐标为：

，其中C为上半部分的弧段，即有：

答案检验；

大致位置为：

②若是心形区域的形心，则求解如下：

依据对称性，形心纵坐标为0，横坐标为：

，其中Ω为上半部分的区域

其中面积微元

，

即有：

答案检验：

大致位置为：

比曲线的形心稍微偏右一些，更贴近“心底”

(3)心形线绕x轴旋转一周形成的体积

这旋转体变成一个橘子去了...

同样根据对称性，取x轴上半部分区域研究

取面积微元

，区域内任意一点为M，其到转轴(即x轴)的距离为y，于是该小块面积绕轴旋转形成“小手镯”的体积为：

也即小面积

，乘以走过的周长2πy

直观图大致如此：

"小手镯"示意图

进而在上半区域做二重积分

即可，于是

这个注意到可以直接凑微分，因此就用N-L公式了，当然把sinθ用二倍角打开再转Beta函数也是可以的

答案检验：

(3)心形线绕x轴旋转一周形成的表面积

同样根据对称性，取x轴上半部分弧段研究

取面积微元

，弧段上任意一点为M，其到转轴(即x轴)的距离为y，于是该小块弧长绕轴旋转形成“小圆台”的侧面积为：

也即小弧长

，乘以走过的周长2πy

进而在上半弧段做曲线积分

即可，于是

答案检验：

好的，今天就先积到这里，赶紧学学笛卡尔，拿这道积分题去给你的对象表白吧(雾)