洛伦兹微分方程与混沌理论
洛伦兹微分方程与混沌理论
混沌理论是20世纪最重要的科学发现之一，它揭示了看似随机的复杂系统背后隐藏的秩序。从气象学、流体力学到计算机科学，混沌理论的应用无处不在。本文将带你走进混沌理论的世界，通过洛伦兹系统这一经典模型，探索混沌现象背后的数学之美。
前言
这一段时间在看书中关于深度学习与神经网络的内容，其中有一节介绍神经网络用于预测洛伦兹微分方程的数值解，还提到了“吸引子”这一概念，当时也没太理解是什么，下午搜集了一本书上关于混沌理论的介绍——《混沌的本质》。
这本书是当代世界知名的动力气象学家、混沌理论的少有几位开创者之一E.N.洛伦兹教授在近期为总结其开创及推动混沌科学发展过程而写的一本力作。全书共分五章,全面介绍了混沌理论的基本概念发展历程和前景展望，既是一本很有分量的学术专著，又是一本科学散文集,哲理、文学与科学融为一体,读来引人入胜。本书可供对混沌理论及现代数学、物理学感兴趣的大专院校师生、科技人员和中等文化水平的读者阅读。下边的一些概念都是书中所给出的，做一个简单的了解，会在参考中提供书籍的电子版。
基本概念
这些概念都是书中给出的，这里做一个简单的整理，当然给出这些概念貌似也没什么用，有很多都是比较抽象的：
Chaos(混沌)：1.表征一个动力系统的特性,在该系统中大多数轨道显示敏感依赖性;即完全混沌。2.有限混沌：表征一个动力系统的特性,在该系统中某些特殊的轨道是非周期的,但大多数轨道是周期的或准周期的。
Butterfly effect(蝴蝶效应)：一个动力系统状态的一个微小改变所引起的后续状态与没有微小改变时的后续状态明显不同的现象;即敏感依赖性。
Dynamical system(动力系统)：一个确定性系统。更随意些说,它也可以是一个带有较小随机性的系统,如果该系统的随机性稍加消除后，其定性行为无明显变化的话。
Phase space(相空间)：一个假想的空间,它的维数与规定一给定动力系统的状态所需的变量数目相同。在相空间中一个点的坐标乃是这些变量的一组同时的值。
Dissipativesystem(耗散系统)：这样一种动力系统，在该系统中相空间的有限体积的任何点集的映像都是更小体积的点集。
Limit set(of an orbit)(极限集)(一个轨道的)：被一个轨道所趋近并且其中不包含该轨道所趋近的更小集合的集合。通俗地讲，即由轨道一再非常接近地通过的每一点所组成的集合。
Attracting set(吸引集)：在一个耗散系统中,由所有轨道的极限集以及从该集出发的轨道上的所有的点所组成的集合。
Attractor(吸引子)：在一个耗散系统中,不属于任何更大极限集且无轨道由其发出的极限集。
Basin of attraction(吸引域)：位于趋近于一给定吸引子的轨道上的所有点所组成的集合。
Randomsystem(随机系统)：1.这样一种系统,在该系统中，从前面状态到后来状态的演化不是完全由任何规律决定的;即是非确定的系统。2.这样一种系统,在该系统中,后来状态的发生完全独立于前面的状态；即完全随机的系统。
还有一些概念如平衡态、不动点、哈密顿系统、李雅普诺夫指数等，其中李雅普诺夫指数在常微分教材中提到，表示相空间相邻轨迹的平均指数发散率的数值特征，是用于识别混沌运动若干数值的特征之一。
洛伦兹系统
Lorenz系统是一个大气对流简化模型，包含3个微分方程。Lorenz在1963年证明了这个系统中存在混沌(Lorenz认为由三变量非线性耦合微分方程描述的系统都能产生chaos)。变量x 、 y 、 z x、y、zx、y、z分别表示循环流体的流速、上升和下降流体的温差和垂直温度剖面的畸变。其微分形式如下：
x ˙ = σ ( y − x )
y ˙ = x ( ρ − z ) − y
z ˙ = x y − β z
其中x 、 y 、 z x、y、zx、y、z都是时间t tt的函数，x ˙ \dot{x}x˙、y ˙ \dot{y}y˙ 、z ˙ \dot{z}z˙都是t tt的导数，其中σ = 10 , ρ = 28 , β = 8 / 3 \sigma=10, \rho=28, \beta=8/3σ=10,ρ=28,β=8/3时称为标准或者经典Lorenz系统。
取100组初始值通过matlab中的ode45自适应步长的函数求得的数值解，得到的轨迹如图：
这个吸引域在所给的坐标范围内。
参考
混沌的本质网盘下载
MATLAB混沌系统仿真其一：Lorenz系统和Rossler系统
第二个参考的文章中也有很多东西值得了解。
本文原文来自CSDN博客