数字滤波器的理论和应用
数字滤波器的理论和应用
一、概念
数字滤波器是一种输入输出均为数字信号的设备，通过数值运算改变信号频率成分的相对比例，或滤除某些频率成分。它属于数字信号处理的范畴。
- 模拟信号：时间和信号值（随时间变化的函数）都是连续的（电、磁、机械以及热、光、声等自然界中的原始信号）。
- 时域离散信号：时间是离散的，信号值是连续的（只能用函数来表示，无法取得具体值）。
- 数字信号：时间是离散的，信号值也是离散的（用计算机的二进制数来表示具体值了）。
数字滤波器相比模拟滤波器具有以下相对优势：
- 不存在阻抗匹配问题
- 体积重量更小
- 更灵活的变更能力
如果需要处理模拟信号，可以通过A/D和D/A转换，在信号形式上进行匹配转换。
二、分类
数字滤波器可以根据不同的标准进行分类：
经典滤波器
根据不同频率成分占据不同频带完成滤波。例如：
- 低通滤波器
- 高通滤波器
- 带通滤波器
- 带阻滤波器
可实现的滤波器在通带与阻带之间有一定宽度的过渡带，并且在通带和阻带都允许一定的误差容限，即通带不是完全水平的，阻带不是绝对衰减到零。
现代滤波器
根据信号的统计特性完成滤波。例如：
- 维纳滤波器
- 卡尔曼滤波器
- 自适应滤波器等
按实现结构或单位脉冲响应长度分类
IIR（Infinite Impulse Response，无限长单位脉冲响应）滤波器
是非线性相位滤波器
优点：具有更高的处理效率和更低的延迟
缺点：相位响应不是线性的，容易产生失真和不稳定性
适用场景：需要快速实时信号处理的场景，例如音频信号处理、图像处理等
FIR（Finite Impulse Response，有限长单位脉冲响应）滤波器
是线性相位滤波器
优点：稳定性好、易于设计、具有线性相位、无需考虑数字滤波器的稳定性
缺点：需要更多的计算资源和延迟
适用场景：需要高精度的信号处理
三、技术指标
- 幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅衰减情况
- 相频特性：反应各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况
四、借助模拟滤波器间接设计数字滤波器
常见的模拟滤波器类型
巴特沃斯（Butterworth）滤波器
特点：具有单调下降的幅频特性，下降的速度与阶数N有关。N愈大,通带愈平坦,过渡带愈窄,幅度下降的速度越快,过渡带越窄,过度带与阻带幅度下降的速度愈快,总的幅频响应特性越与理想低通滤波器的误差愈小。
切比雪夫（Chebyshew）滤波器
特点：幅频特性在通带或阻带内具有等波纹特性。在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的，称为切比雪夫Ⅰ型滤波器；在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的，称为切比雪夫Ⅱ型滤波器。
椭圆（Ellipse）滤波器
特点：在通带和阻带内都具有等波纹幅频响应特性。由于其极点位置与经典场论中的椭圆函数有关，所以由此取名为椭圆滤波器。
贝塞尔（Bessel）滤波器
特点：幅频特性的过渡带比其他四种滤波器宽得多，但是通带内有较好的线性相位特性。
工程实际中选择哪种滤波器取决于对滤波器阶数（阶数影响处理速度和实现的复杂性，以及处理器芯片的RAM负荷和运算负荷）和相位特性的具体要求。例如，在满足幅频响应指标的条件下希望滤波器阶数最低时，就应当选择椭圆滤波器。
五、数字滤波器的直接设计方法
直接在频域或者时域中设计数字滤波器，由于要解联立方程，因此需要计算机辅助进行设计。在Matlab的FilterDesigner工具中，可以输入技术指标直接设计出来一个滤波器，也可以导入一个滤波进行分析。
窗口顶部一排按钮的功能
- 查看幅值响应曲线
- 相位响应曲线
- 幅值响应和相位响应
- 群延迟响应
- 相位延迟响应
- 冲激响应
- 阶跃响应
- 零极点图
- 滤波器系数
- 滤波器信息
几种常用的窗函数
- 矩形窗
- 三角（Bartlett）窗
- 汉宁（Hanning）窗
- 哈明（Hamming）窗
- 布莱克曼（Blackman）窗
- 凯塞-贝塞尔（Kaiser-Basel-）窗
等波纹最佳逼近法
与窗函数设计法和频率采样法比较，设计的滤波器性能价格比最高。阶数相同时，这种设计法使滤波器的最大逼近误差最小，即通带最大衰减最小，阻带最小衰减最大；指标相同时，这种设计法使滤波器阶数最低。
六、参考资料
《数字信号处理》——高西全、丁玉美