时间复杂度详解：从基本概念到计算方法

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@小白创作中心

时间复杂度详解：从基本概念到计算方法

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CSDN

https://m.blog.csdn.net/Eirlys_North/article/details/52959540

时间复杂度是衡量算法效率的重要指标，它反映了算法执行时间随输入规模增长的变化趋势。本文将从基本概念出发，详细讲解时间复杂度的计算方法，并通过实例帮助读者掌握这一重要概念。

一、时间复杂度的基本概念

1.1 时间频度

一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道算法花费的时间多少。

一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度，记为T(n)。

1.2 时间复杂度

n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。

一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=Ｏ(f(n))，称Ｏ(f(n))为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

注意，时间频度与时间复杂度是不同的，时间频度不同但时间复杂度可能相同。如：T(n)=n^2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同，但时间复杂度相同，都为O(n^2)。

常见的时间复杂度有：

常数阶O(1)
对数阶O(log2n)
线性阶O(n)
线性对数阶O(nlog2n)
平方阶O(n^2)
立方阶O(n^3)
k次方阶O(n^k)
指数阶O(2^n)
O(n!)
O(n^n)

1.3 最坏时间复杂度和平均时间复杂度

最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般不特别说明，讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的上界，这就保证了算法的运行时间不会比任何更长。

在最坏情况下的时间复杂度为T(n)=0(n)，它表示对于任何输入实例,该算法的运行时间不可能大于0(n)。平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，算法的期望运行时间。指数阶0(2n)，显然，时间复杂度为指数阶0(2n)的算法效率极低，当n值稍大时就无法应用。

二、时间复杂度的计算方法

2.1 基本计算步骤

根据定义，可以归纳出基本的计算步骤：

计算出基本操作的执行次数T(n)
计算出T(n)的数量级
用大O来表示时间复杂度

例如：

for（i=1;i<=n;++i）
{
    for(j=1;j<=n;++j)
    {
        c[ i ][ j ]=0; //该步骤属于基本操作 执行次数：n^2
        for(k=1;k<=n;++k)
            c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //该步骤属于基本操作 执行次数：n^3
    }
}

则有 T（n）= n^2+n^3，根据上面括号里的同数量级，我们可以确定 n^3为T（n）的同数量级
则有f（n）= n^3，然后根据T（n）/f（n）求极限可得到常数c
则该算法的时间复杂度：T（n）=O（n^3)

2.2 精简计算步骤

找到执行次数最多的语句
计算语句执行次数的数量级
用大O来表示结果

例如：

(1) for(i=1;i<=n;i++) //循环了n*n次，当然是O(n^2)
    for(j=1;j<=n;j++)
        s++;

(2) for(i=1;i<=n;i++) //循环了(n+n-1+...+1)≈(n^2)/2 ,同上
    for(j=i;j<=n;j++)
        s++;

(4) i=1;k=0;
    while(i<=n-1){
        k+=10*i;
        i++; 
    }
    //循环了n-1≈n次，所以是O(n)

(5) for(i=1;i<=n;i++)
    for(j=1;j<=i;j++)
        for(k=1;k<=j;k++)
            x=x+1;
    //循环了(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6≈(n^3)/3，即O（n^3)

(6) x=91; y=100;
    while(y>0) if(x>100) {x=x-10;y--;} else x++;
    //T(n)=O(1)，与n无关

(7) i=n-1;
    while(i>=0&&(A[i]!=k))
        i--;
    return i;
    //此算法中的语句(3)的频度不仅与问题规模n有关，还与输入实例中A的各元素取值及K的取值有关:
    //①若A中没有与K相等的元素，则语句(3)的频度f(n)=n；
    //②若A的最后一个元素等于K,则语句(3)的频度f(n)是常数0。