真正弄懂逻辑回归模型，逻辑回归详解

真正弄懂逻辑回归模型，逻辑回归详解

逻辑回归是应用最为广泛的二分类模型，并且也是进一步学习神经网络等深度学习模型的基础。本文将从什么是线性分类、逻辑回归的算法原理和Pytorch实现逻辑回归三个方面，深度讲解逻辑回归模型。

在本节课中，我将从什么是线性分类、逻辑回归的算法原理和Pytorch实现逻辑回归，这三个方面，深度讲解逻辑回归模型：

1.什么是线性分类

来看下面这个例子：

假设在平面x1-O-x2中，分布着蓝色圆圈表示的正样本与红色叉子表示的负样本。它们有两个特征，x1和x2。其中正样本的标签是y=1，负样本的标签是y=0。接着在平面上画出一条直线，x1+x2-3=0。该直线交x1轴于点(3, 0)，交x2轴于点(0, 3)。这时可以观察到，正负两种样本刚好分布在直线的两侧。对于任意的某个样本(x1, x2)，如果将该样本向量，代入表达式x1+x2-3：当计算的结果大于等于0时，那么该样本就是正例，计算结果小于0，该样本就是负例。这样我们就通过直线 x1+x2-3=0对样本进行了分类。而这条直线就是这个分类问题的决策边界。当使用一条直线来区分，样本是正例还是负例，那么这就是线性分类问题。逻辑回归算法会训练出一个由直线表示的决策边界，因此逻辑回归是线性分类器。

2.逻辑回归的假设函数

任何机器学习模型，都需要有一个假设函数。我们通过假设函数，来表示输入数据与输出结果之间的关系：也就是将样本的特征向量x，输入至假设函数hθ(x)中，计算出模型的预测结果。逻辑回归的假设函数如下所示：下面我们就基于分类问题本身，来解释逻辑回归的假设函数hθ(x)。设平面上的样本，正例的标记y=1，负例的标记y=0：

也就是将未知样本x输入至逻辑回归，然后模型预测该样本是0还是1。实际上，我们希望逻辑回归的预测结果，也就是hθ(x)的输出，是0到1之间的某个值。这样就可以将预测结果h，看做是样本x属于某个类别的概率了。也就是，当我们发现预测h接近1时，样本x就更可能是正例。h接近0时，x就更可能是负例。具体来说，在使用逻辑回归预测样本的类别时，会提前设置一个阈值p，用来控制分类的界限：

如果将样本x，带入到hθ(x)。输出结果大于等于p，那么就将样本预测为正例，否则是负例。例如，将p设置为0.5。这时如果预测值hθ(x)=0.75，因为0.75>p，那么就会将该样本判断为正例。因此基于这样的考虑，为了使hθ(x)的输出，是0到1之间的某个值，我们引入sigmoid函数：

设sigmoid函数为g(z)，它等于1/ 1 + e^(-z)。sigmoid函数的图像，是一个形状像字母S的图形。观察sigmoid函数会发现，自变量z的取值范围是负无穷到正无穷。z趋近于负无穷时，函数值趋近于0。z趋近于正无穷时，函数值趋近于1。并且该函数在z=0的位置左右对称。任意直线的表达式为，θ0+θ1x1+θ2x2+...+θnxn=0。我们将直线的表达式放到z的位置：

此时会得到一个自变量是x1到xn，参数是θ0到θn，值域是0到1的函数hθ(x)。该函数就是逻辑回归的假设函数，它由直线z和sigmoid函数，两部分组成。

3.逻辑回归的代价函数

机器学习模型的代价函数，衡量了模型在训练集上所犯得错误大小。代价函数需要准确的描述样本预测值与真实值之间的误差。在逻辑回归模型中，使用交叉熵损失函数，作为模型的代价函数：我们要求出代价函数J取得最小值时，逻辑回归模型中的参数，θ0到θn，它们的具体值是多少。下面我们具体来说明，为什么逻辑回归的代价函数是交叉熵损失误差：设cost(hθ(x), y)是某一个样本的代价。J(θ)为m个样本的平均代价。在cost函数中，hθ(x)表示样本属于某个类别的预测概率，y是样本的标签。cost函数描述了模型对于一个样本所犯错误的大小。我们希望一个样本的代价cost，有如下性质。当样本是正例时，标记y=1：此时如果预测值h越接近0，那么代价cost就要越大。h越接近1，代价cost就要越小。当样本是负例时，标记y=0：此时如果预测值h越接近0，代价cost要越小。h越接近1，代价cost就要越大。为了实现这样的cost函数，引入log函数。我们将-logx和-log(1-x)两个函数，画在坐标系中：

这两个函数以x=0.5左右对称。接着将自变量x的值，限制在0到1之间：观察函数图像可以发现，蓝色函数在x趋近于0时，函数值趋近于正无穷。x=1时，函数值为0。橙色函数在x趋近于1时，函数值趋近于正无穷。x=0时，函数值是0。如果函数的自变量x，就对应模型的预测值h。那么蓝色函数恰好就可以代表，样本为正例时，代价cost随预测值h的变化。橙色函数则可以表示，样本为负例时，代价cost随预测值h的变化。基于这样的考虑，可以设计出如下cost函数：当y=1时，cost=-log(hθ(x))。当y=0时，cost=-log(1-hθ(x))。cost函数表示了一个样本所犯错误的代价。接着，我们将这两个函数合并为一个：也就是使用hθ(x)、y和log函数，同时表达一个样本的代价值cost。然后再将m个样本的代价值相加到一起，除以m，就得到了逻辑回归的总代价函数J(θ)：J(θ)即为为交叉熵损失误差。

4.使用pytorch训练逻辑回归

接下来，我们使用PyTorch深度框架，训练逻辑回归模型：首先来看样本数据的生成：使用make_blobs函数，在平面上生成50个随机样本，包含两个类别。x1和x2分别保存样本的两个特征。然后使用plt.scatter绘制正样本和负样本。其中正样本使用蓝色圆圈表示，负样本使用红色叉子表示：

接着将两个特征x1、x2和标签y，转为张量形式：并定义直线的3个参数，theta0、theta1和theta2。定义Adam优化器optimizer，优化三个θ参数。在参数迭代前，还需要实现逻辑回归的假设函数hθ(x)与代价函数J(θ)的计算方法：具体如下，函数hypothesis，计算逻辑回归模型的预测值hθ(x)：函数J，计算预测值h与真实值y的交叉熵损失误差：接着进入逻辑回归模型的循环迭代：在循环中，首先计算模型的预测值h。然后调用函数J，计算预测值h和真实值y之间的损失loss。调用loss.backward，计算loss关于参数θ的梯度。调用optimizer.step，更新模型参数。调用zero_grad，将梯度清零。在迭代过程中，每1000次迭代，打印一次当前的损失：其中loss.item是损失的标量值。运行程序，会看到loss值不断变小。完成训练后，再基于迭代出的参数，绘制出逻辑回归的蓝色决策边界：训练结果如下图所示：

那么到这里，逻辑回归，就讲完了，感谢大家的观看，我们下节课再会。